Моделирование систем массового обслуживания (смо)

Рассмотрим несколько примеров:

1. Портовый кран перегружает контейнеры с автотранспорта на корабль. Автомобили подвозят контейнеры через случайные промежутки времени. Какой случайный промежуток времени требуется на перемещение контейнера?

2. Имеется цех. С предыдущей технологической операции к нему поступают детали через произвольные промежутки времени. На обработку партии также требуется случайный промежуток времени.

3. Имеется стойка телефонной станции, на вход которой поступают вызовы абонентов. Через какой случайный промежуток времени поступают вызовы?

Во всех примерах имеется нечто общее. Можно выделить так называемые заявки, которые образуют поток. Первый пример – автомобили, подвозящие контейнеры, во втором – партии деталей, в третьем – телефонные звонки.

Обслуживающий аппарат (ОА) называется каналом. В первом примере – это портовый кран, во втором - цех, в третьем – стойка на телефонной станции.

В зависимости от соотношения производительности обслуживающего аппарата и интенсивности потока заявок может образовываться очередь. В простейшем случае эту ситуацию можно изобразить следующим образом:

Поток заявок

Очередь

Обслуживающий аппарат

Выход

Рис. Схема простейшей системы массового обслуживания

Заметим, что СМО могут быть достаточно сложными: в них могут присутствовать несколько ОА–каналов. Обслуживание может вестись с учетом приоритетов заявок.

Основными показателями СМО являются:

1. Загрузка обслуживающих аппаратов.

2. Коэффициент простоя ОА: (где - загрузка).

3. Количество заявок, обслуженных за рассмотренный промежуток времени t (производительность).

4. Средняя и максимальная длина очереди.

5. Время пребывания заявки в очереди.

Понятно, что можно определенным образом построить модель, позволяющую вычислить эти характеристики. Основная задача при моделировании СМО – определить типы и количество обслуживающих аппаратов, а также их связь между собой (структуру СМО). Так, чтобы обеспечить максимальную требуемую производительность системы массового обслуживания при выполнении заданных ограничений (например, стоимость ОА).

Построение алгоритмической модели простейшей смо

Введем следующие обозначения:

- момент поступления i-той заявки на вход очереди;

- время пребывания i-той заявки в очереди;

- время обслуживания i-той заявки ОА;

- момент выхода i-той заявки из ОА;

- интервал времени между поступлением i+1 и i-той заявок на вход в очередь.

На следующем рисунке представлены две возможные ситуации для момента поступления i+1 заявки:

а) Ситуация 1 n_i= t_i+1 – t_i

б) Ситуация 2

Рис. Функционирование СМО

Разница в этих ситуациях заключается в том, что в ситуации а) ОА занят при поступлении i+1 заявки, а в ситуации б) - ОА свободен и значит, i+1 заявка сразу начнет обрабатываться.

Отдельно представляют алгоритмическую модель для вычисления СМО. При реализации этой модели на ЭВМ следует организовать цикл для перебора моделируемого количества заявок, ввести начальные заявки.

1. 

2. 

Найти

3. На основании полученных данных необходимо вычислить характеристики:

   • загрузку СМО;

   • время загрузки;

   • общее время функционирования СМО;

   • производительность (среднее количество заявок, обслуживаемых за рассматриваемый период времени).

Простейшие потоки событий

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени. Такой поток можно изобразить как последовательность точек t1...tn на числовой оси, соответствующих случайным моментам появления событий (рис.1.):

Рис.1. Последовательность однородных событий

Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени зависит только от длины этого участка и не зависит от того, где именно на оси 0t расположен этот участок.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. Поток событий называется ординарным, если вероятности попадания на участок времени малой длины двух или более событий пренебрежимо малы по сравнению с вероятностью попадания на этот участок одного события.

Стационарность потока означает, что вероятностные характеристики этого потока не должны меняться в зависимости от времени. Например, такая характеристика, как интенсивность потока событий, равная математическому ожиданию числа событий в единицу времени, должна оставаться постоянной для стационарного потока.

На практике часто встречаются потоки событий, которые стационарны только на ограниченном участке времени. Например, поток вызовов, поступающих на телефонную станцию в дневное время, может считаться таковым. Тот же поток в течение целых суток уже не будет стационарным, поскольку ночью интенсивность вызовов гораздо меньше, чем днем.

Отсутствие последействия в потоке означает, что события появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга. Например, поток пассажиров, входящих на станцию метро, можно считать потоком без последействия потому, что причины, обусловившие приход отдельного пассажира именно в тот, а не другой момент, не связаны с аналогичными причинами для других пассажиров. Однако условие отсутствия последействия может быть нарушено за счет появления такой зависимости. Например, поток пассажиров, покидающих станцию метро, уже не может считаться потоком без последействия, так как моменты выхода пассажиров, прибывших одним и тем же поездом, зависимы между собой.

Ординарность потока означает, что события в потоке приходят поодиночке, а не парами, тройками и т. д. Например, поток клиентов, направляющихся в парикмахерскую, практически можно считать ординарным, чего нельзя сказать о потоке клиентов, идущих в ЗАГС для регистрации брака.

Простейший поток играет среди потоков событий особую роль, до некоторой степени аналогичную роли нормального закона среди других законов распределения. Согласно центральной предельной теореме, при суммировании большого числа независимых случайных величин, подчиненных практически любым законам распределения, получается случайная величина, приближенно распределенная по нормальному закону. Аналогично можно сказать, что при суммировании (взаимном наложении) большого числа ординарных, стационарных потоков с практически любым последействием получается поток, сколь угодно близкий к простейшему. Условия, которые должны для этого соблюдаться, аналогичны условиям центральной предельной теоремы, а именно: складываемые потоки должны оказывать на сумму приблизительно равномерно малое влияние.

Уравнения Колмогорова.

Замкнутые системы массового обслуживания. Пример замкнутой СМО

Рассмотрим системы массового обслуживания, в которых интенсивность потока поступающих заявок зависит от состояния самих систем. Такие системы массового обслуживания называются замкнутыми.

Пусть система состоит из п каналов обслуживания и т источников заявок, т>п.

Предположим, что каждый источник порождает простейший поток заявок с интен­сивностью , причем источник не может посылать следующую заявку до завершения обслуживания своей предыдущей заявки (в этом и выражается замкнутость данной системы). Предположим также, что каждый канал порождает простейший поток обслуженных заявок с интенсивностью . Все состояния данной системы можно разбить условно на три группы:

- "все каналы свободны",

- "ровно i каналов занято и поступило ровно i заявок", i = 1, ..., n,

- "все каналы заняты и ровно j-n заявок находятся в очереди для обслуживания", j = n + 1, ..., m.

Графически все возможные переходы из состояния в состояние, а также интенсивности потоков событий, под воздействием которых эти переходы возможны, можно изобразить в виде размеченного графа так, как это пока­зано на рис.2. Действительно, если система находится в состоянии i = 0, 1,..., n - 1, то в состояние "i+ 1 каналов занято" она может перейти под воздей­ствием суммарного потока заявок от m - i источников с интенсивностью ; из состояния в состояние "i- 1 каналов занято" она может перейти под воздействием суммарного потока обслуженных заявок, поступающего от i каналов обслуживания с интенсивно­стью .. Напомним, что i источников прекращают поставку заявок до завершения обслуживания своих последних заявок. Если же система находится в состоянии , j = n,...,m- 1, то в состояние она может перейти под воздействием суммарного потока заявок с интенсивностью , а в состояние — под воздействием сум­марного потока обслуженных заявок с интенсивностью , поступающего от n каналов обслуживания.

Рис. 2. Размеченный граф многоканальной замкнутой СМО

Составим на основе этого размеченного графа уравнения Колмогорова. Эти уравнения представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений, описывающую вероятности P_r(t) нахождения данной системы в состоянии S_r в момент времени t, r = 0, 1, ..., m :

Особый интерес представляют вероятности P_r(t) в предельном стационарном режиме, т. е. при , которые называются предельными вероятностями состояний системы.

Открытые системы массового обслуживания.

Рассмотрим системы массового обслуживания, в которых интенсивность потока поступающих заявок не зависит от состояния самих систем. Такие системы массового обслуживания называются открытыми.

Пусть интенсивность простейшего потока поступающих заявок равна и не зависит от состояния системы. Предполагается, что система состоит из п каналов обслуживания и каждый канал порождает простейший поток обслуженных заявок с интенсивностью . Заявки, поступающие в момент, когда заняты все каналы, становятся в очередь ожидая обслуживания. Количество мест в очереди ограничено числом к : при наличии в очереди к заявок вновь поступающие заявки покидают систему необслуженными.

Все состояния данной системы можно разбить условно на три группы:

- "все каналы свободны",

- "ровно i каналов занято и поступило ровно i заявок", i = 1, ..., n,

- "все каналы заняты и ровно j-n заявок находятся в очереди для обслуживания", j = n + 1, ...,n+k .

Графически все возможные переходы из одного состояния в другое, а также интенсивности потоков событий, под воздействием которых эти переходы возможны, можно изобразить в виде размеченного графа так, как это показано на рис.23. Здесь m=n+k.

Рис.3. Размеченный граф многоканальной открытой СМО

Действительно, если система находится в состоянии i = 0, 1,..., m, то в состояние "i+ 1 каналов занято" она может перейти под воздействием потока заявок с интенсивностью ;

Из состояния в состояние "i- 1 каналов занято" i = 1,..., n она может перейти под воздействием суммарного потока обслуженных заявок, поступающего от i каналов, с интенсивностью .

Из состояния в состояние j = п + 1, ..., m, система может перейти под воздействием суммарного потока обслуженных заявок, поступающего от п каналов с интенсивностью .

Составим на основе этого размеченного графа уравнения Колмогорова. Приравнивая производные нулю для стационарного случая, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающую предельные вероятности состояний системы:

Если мест в очереди не предусмотрено (k=0), то имеем частный случай открытой системы массового обслуживания. Графически этот случай описывается на рис. 4.

Рис.4. Размеченный граф многоканальной открытой СМО без очереди.

Для получения системы алгебраических уравнений, описывающей стационарный режим в этом случае, достаточно из последней системы удалить третий блок уравнений (при j = n,..., т- 1) и положить т = п.

Если рассматриваемая система массового обслуживания одноканальная, то из системы линейных алгебраических уравнений исключается второй блок уравнений; если система одноканальная и без очереди, то исключается второй и третий блоки уравнений.

Пусть система находится в предельном стационарном режиме. Тогда можно показать, что:

• вероятность Р_от отказа заявке на обслуживание равна Р_т ;

• вероятность Q принятия заявки на обслуживание равна 1- Р_т ;

• среднее число А заявок, принимаемых системой на обслуживание в единицу времени, равно Q;

• среднее число Nzan занятых каналов равно А/ ;

• среднее число Noch заявок в очереди равно

• среднее время tw ожидания заявки в очереди равно

• среднее время tsys нахождения заявки в системе равно tw+ Q/ ;

Создание программных модулей и элементы программирования в среде MathCAD.

Задание программных модулей и программирование осуществляются с использованием панели Программирование, которая представлена ниже.

Рис.5.Панель программирования.

Задание программного блока осуществляется с использованием вертикальной линии AddLine. Внутри программного блока могут выполняться все арифметические операции доступные в Mathсad. Особенностью программного блока является операция локального присваивания ← , которая распространяет присваивание значения переменной только в пределах программного блока. Пример такого блока приведен ниже на рис.6.

Очень часто программные блоки используются для определения функций пользователя. Функция пользователя определяется обычным образом. В конце программного блока должно быть указано выражение, являющееся результатом вычисления функции. Пример определения функции пользователя с использованием программного блока приведен на рис.6.

Рис.6. Примеры

Набор программных элементов для создания программных модулей содержит следующие элементы:

• Add Line – создает вертикальную линию, справа от которой задается запись программного блока;

• ← - символ локального присваивания, действует только в теле модуля;

• if – условный оператор;

• for – оператор задания цикла с фиксированным числом повторений;

• while – оператор задания цикла, действующего до тех пор, пока выполняется некоторое условие;

• otherwise – оператор иного выбора, применяется с if;

• break – оператор прерывания;

• continue – оператор продолжения;

• return – оператор возврата;

• on error – оператор обработки ошибок.

Рассмотрим каждый из этих операторов в отдельности.

Операторы при программировании в среде MathCAD

Условный оперетор if предназначен для выполнения вычислений в зависимости от условия:

Это означает, что функция Z(x) принимает значения:

• по первому условию -1, если x<3;

• по второму условию х, если ;

• по третьему условию 1, если .

Пример использования оператора if с оператором otherwise и без него приведен ниже:

В первом случае в конце программного блока необходимо указать значение, которое блок возвращает в качестве ответа. Во втором случае возвращаются х или –х в зависимости от условия.

Рассмотрим порядок набора оператора if для третьего варианта примера:

Далее заполняем в соответствии с примером метки ввода.

Оператор цикла for предназначен для задания циклов с фиксированным числом повторений. Шаблон оператора for имеет три метки:

На месте первой метки вводится имя управляющей переменной; на месте второй метки вводится в виде ранжированной переменной начальное и конечное значение управляющей переменной (можно также указать и второе значение управляющей переменной, если шаг ее изменения не равен единице); на месте третьей метки записывается выражение для выполнения. Алгоритм работы оператора цикла for следующий: управляющей переменной присваивается первое значение, вычисляется выражение, управляющей переменной присваивается второе значение, вычисляется выражение и т.д. до перебора всех значений управляющей переменной.

Пример использования оператора цикла for приведен ниже:

Оператор цикла while служит для организации циклов, действующих до тех пор, пока выполняется условие заданное в цикле. Пример использования цикла while приведен ниже:

Во втором примере определен бесконечный цикл while, а принудительный выход из цикла осуществляется с использованием оператора break.

Оператор Return используется для выхода из блока и передачи значения из любой точки программного блока. Пример использования оператора Return приведен ниже:

Средства системы MATHCAD для моделирования на основе обыкновенных дифференциальных уравнений

В Mathcad имеются три встроенные функции, которые позволяют решать задачу Коши различными численными методами.

• rkfixed(y0, t0, t1, M, D) — метод Рунге-Кутты с фиксированным шагом,

• Rkadapt(y0, t0, t1, M, D) — метод Рунге-Кутты с переменным шагом;

• Buistoer(y0, t0, t1, M, D) — метод Булирша-Штера;

  • у0 — вектор начальных значений в точке to размера NXI;

  • t0 — начальная точка расчета,

  • t1 — конечная точка расчета,

  • M — число шагов, на которых численный метод находит решение;

  • D — векторная функция размера NXI двух аргументов — скалярного t и векторного у При этом у — искомая векторная функция аргумента t того же размера NXI.

Соблюдайте регистр первой буквы рассматриваемых функций, поскольку это влияет на выбор алгоритма счета, в отличие от многих других встроенных функций Mathcad.

Каждая из приведенных функций выдает решение в виде матрицы размера (M+1)х(N+1). В ее левом столбце находятся значения аргумента t, делящие интервал на равномерные шаги, а в остальных N столбцах — значения искомых функций y₀(t) ,y₁(t), .. ,y_N-1(t), рассчитанные для этих значений аргумента. Поскольку всего точек (помимо начальной) М, то строк в матрице решения будет всего M+1

В подавляющем большинстве случаев достаточно использовать первую функцию rkfixed,

rkfixed(y,x1,x2,N,F) – выдает таблицу результатов решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности с фиксированным шагом интегрирования :

y – вектор начальных значений искомого решения;

x1 – начальное значение независимой переменной;

x2 – конечное значение независимой переменной;

N – фиксированное число шагов интегрирования на отрезке от х1 до х2: ;

F – правые части системы уравнений, записанные в символьном виде.

Пример использования функции rkfixed приведен ниже:

Результатом решения функции rkfixed является матрица. Первый столбец этой матрицы – это независимая переменная х с N=5 равномерными интервалами разбиения заданного отрезка х1-х2. Второй и так далее столбцы – это решения для соответствующих функций с заданными начальными значениями.

Rkadapt(y,x1,x2,N,F) - выдает таблицу результатов решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта с адаптивным шагом интегрирования. Список параметров аналогичен функции rkfixed.

Пример использования функции Rkadapt приведен ниже.

Результирующая матрица имеет такой же вид, что и в функции rkfixed. Как видно, для одного итого же примера, приведенного для rkfixed и для Rkadapt решения немного расходятся. Следует ожидать, что решение по функции Rkadapt будет более точным.

Во-первых, функция D, входящая в число параметров встроенных функций для решения ОДУ, должна быть функцией обязательно двух аргументов. Во-вторых, второй ее аргумент должен быть вектором того же размера, что и сама функция D. В-третьих, точно такой же размер должен быть и у вектора начальных значений.

Не забывайте, что векторную функцию D(t,y) следует определять через компоненты вектора у с помощью кнопки нижнего индекса (Subscript) с наборной панели Calculator (Калькулятор) или нажатием клавиши <[>. В третьей строке листинга определено число шагов, на которых рассчитывается решение, а его последняя строка присваивает матричной переменной и результат действия функции rkfixed.

Чтобы построить график решения, надо отложить соответствующие компоненты матрицы решения по координатным осям" значения аргумента и<0> — вдоль оси х, а u<1> и u<2> — вдоль оси У .

При решении систем ОДУ многие проблемы могут быть устранены при помощи простой попытки увеличить число шагов численного метода В частности, сделайте так при неожиданном возникновении ошибки "Found a number with a magnitude greater than 10^307" (Найдено число, превышающее значение 10307) Данная ошибка может означать не то, что решение в действительности расходится, а просто недостаток шагов для корректной работы численного алгоритма

В заключение следует сказать несколько слов об особенностях различных численных методов. Все они основаны на аппроксимации дифференциальных уравнений разностными аналогами. В зависимости от конкретной формы аппроксимации, получаются алгоритмы различной точности и быстродействия. В Mathcad использован наиболее популярный алгоритм Рунге-Кутты четвертого порядка, описанный в большинстве книг по методам вычислений. Он обеспечивает малую погрешность для широкого класса систем ОДУ за исключением жестких систем. Поэтому в большинстве случаев стоит применять функцию rkfixed. Если по различным причинам время расчетов становится критичным или точность неудовлетворительна, стоит попробовать вместо rkfixed другие функции, благо сделать это очень просто, благодаря одинаковому набору параметров. Для этого нужно только поменять имя функции в программе.

Функция Rkadapt может быть полезна в случае, когда известно, что решение на рассматриваемом интервале меняется слабо, либо существуют участки медленных и быстрых его изменений. Метод Рунге-Кутты с переменным шагом разбивает интервал не на равномерные шаги, а более оптимальным способом. Там, где решение меняется слабо, шаги выбираются более редкими, а в областях его сильных изменений — частыми. В результате, для достижения одинаковой точности требуется меньшее число шагов, чем для rkfixed. Метод Булирша-Штерна Buistoer часто оказывается более эффективным для поиска гладких решений.

Случайные величины и их моделирование MATHCAD

Для моделирования различных физических, экономических и прочих эффектов широко распространены методы, называемые методами Монте-Карло. Их основная идея состоит в создании определенной последовательности случайных чисел, моделирующей тот или иной эффект, например шум в физическом эксперименте, случайную динамику биржевых индексов и т. п. Для этих целей в MathCAD встроен ряд генераторов псевдослучайных чисел.

Согласно определению, случайная величина принимает то или иное значение, но какое конкретно, зависит от случайных обстоятельств опыта и заранее точно предсказано быть не может. Можно лишь говорить о вероятности р(х_к) принятия случайной дискретной величиной того или иного значения х_к, или о вероятности попадания непрерывной случайной величины в тот или иной числовой интервал (х,х+Дх). Вероятность р (х_к) может принимать значения от 0 (такое значение случайной величины совершенно невероятно) до 1 (случайная величина заведомо примет значение от х до х+Дх). Соотношение р(х_к) называют законом распределения случайной величины, а зависимость р(х) между возможными значениями непрерывной случайной величины и вероятностями попадания в их окрестность называется ее плотностью вероятности (probability density).

В MathCAD имеется ряд встроенных функций, задающих используемые в математической статистике законы распределения. Они вычисляют как значение плотности вероятности различных распределений по значению случайной величины х, так и некоторые сопутствующие функции. Все они, по сути, являются либо встроенными аналитическими зависимостями, либо специальными функциями. Большой интерес представляет наличие генераторов случайных чисел, создающих выборку псевдослучайных данных с соответствующим законом распределения.

Рассмотрим подробно возможности MathCAD на нескольких наиболее популярных законах распределения, а затем приведем перечень всех распределений, встроенных в MathCAD.

Моделирование Нормального (Гауссового) распределения

В теории вероятности доказано, что сумма различных независимых случайных слагаемых (независимо от их закона распределения) оказывается случайной величиной, распределенной согласно нормальному закону (так называемая центральная предельная теорема). Поэтому нормальное распределение хорошо моделирует самый широкий круг явлений, для которых известно, что на них влияют несколько независимых случайных факторов.

Перечислим встроенные функции, имеющиеся в MathCAD для описания нормального распределения вероятностей:

- dnorm(x,мю,сигма) - плотность вероятности нормального распределения;

- рnоrm(х,мю,сигма) - функция нормального распределения;

-сnоrm(х) - функция нормального распределения для мю, =о, сигма =1;

-qnоrm(р,мю,сигма) - обратная функция нормального распределения;

-rnоrm(м,мю, сигма) - вектор м независимых случайных чисел, каждое из которых имеет нормальное распределение;

х - значение случайной величины;

Р - значение вероятности;

мю - математическое ожидание;

сигма - среднеквадратичное отклонение.

Математическое ожидание и дисперсия являются, по сути, параметрами распределения. Плотность распределения для трех пар значений параметров показана на рис. 1. Напомним, что плотность распределения dnorm задает вероятность попадания случайной величины х в малый интервал от х до х+Дх. Таким образом, например, для первого графика (сплошная линия) вероятность того, что случайная величина х примет значение в окрестности нуля, приблизительно в три раза больше, чем вероятность того, что она примет значение в окрестности х=2.

А значения случайной величины, большие 5 и меньшие -5, и вовсе очень маловероятны. Рис. 1. Плотность вероятности нормальных распределений Рис. .2. Нормальные функции распределения

Функция распределения F(x) (cumulative probability) - это вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее или равное х.

Как следует из математического смысла, она является интегралом от плотности вероятности в пределах от минус бесконечности до х. Функции распределения для упомянутых нормальных законов изображены на рис. 2. Функция, обратная F(x) (inverse cumulative probability), называемая еще квантилем распределения, по зволяет по заданному аргументу р определить значение х, причем случайная величина будет меньше или равна х с вероятностью р.

Примеры работы с о встроенными функциями рnоrm, qnоrm, erf

Приведем несколько примеров, позволяющих почувствовать математический смысл рассмотренных функций на примере случайной величины х, распределенной по нормальному закону с мю=о и сигма=1 (листинги .1-.5). Листинг .1. Вероятность того, что х будет меньше 1.881 Листинг .2. 97%-ный квантиль нормального распределения Листинг .3. Вероятность того, что х будет больше 2 Листинг .4. Вероятность того, что х будет находиться в интервале (2,3) Листинг .5. Вероятность того, что |х|<2 Обратим внимание, что задачи двух последних листингов решаются двумя разными способами. Второй из них связан с еще одной встроенной функцией erf, называемой функцией ошибок (или интегралом вероятности, или функцией Крампа). - erf (х) - функция ошибок - erfc(x)=l-erf(х) Математический смысл функции ошибок ясен из листинга 5. Интеграл вероятности имеет всего один аргумент, в отличие от функции нормального распределения. Исторически, последняя пересчитывалась через табулированный интеграл вероятности по формулам, приведенным в листинге 6 для произвольных значений параметров мю и сигма (листинг 6). Листинг 6. Вероятность того, что х будет в интервале (2,3) Если вы имеете дело с моделированием методами Монте-Карло, то в качестве генератора случайных чисел с нормальным законом распределения применяйте встроенную функцию rnorm. В листинге 7 ее действие показано на примере создания двух векторов по м=500 элементов в каждом с независимыми псевдослучайными числами xl и х2_; распределенными согласно нормальному закону. О характере распределения случайных элементов векторов можно судить по рис. 3.

Листинг 7. Генерация двух векторов с нормальным законом распределения Рис.3.Псевдослучайные числа с нормальным законом распределения (листинг )

Модель "хищник—жертва" как пример информационной модели в биологии и соцоологии

Данная математическая модель относится к задачам из области динамики популяций, для которых требуется построение нелинейной модели.

Рассмотрим модель, содержащую два вида, один вид - хищники, а другой - их добыча. Пусть , – популяции жертв и хищников соответственно. Предположим, что между особями одного вида нет соперничества.

Пусть прирост на особь для жертв составляет , а и b > 0,

где а – скорость размножения жертв в отсутствии хищников (в листинге программы С),

есть член, учитывающий потери от хищников, где b – скорость поедания жертв хищниками в (в листинге программы r),

Хищники же размножаются со скоростью, пропорциональной количеству пищи (с коэффициентом d) (в листинге программы r), и умирают естественным образом (смертность определяется константой с) (в листинге программы D),

, с > 0 при . Однако, наличие жертв в случае удачной охоты на них компенсирует это уменьшение, так что при имеем

, d > 0. Таким образом, система двух обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид, имеет вид:

Модель взаимодействия "хищник—жертва" независимо предложили в 1925— 1927 гг. Лотка и Вольтерра. Два дифференциальных уравнения (листинг 1) моделируют временную динамику численности двух биологических популяций жертвы , ( в листинге программы Y0) и хищника ( в листинге программы Y1.) В листинге рассчитываются три решения D, G, р для разных начальных условий.

Листинг 1. Модель "хищник-жертва"

Модель замечательна тем, что в такой системе наблюдаются циклическое увеличение и уменьшение численности и хищника (рис. 1), и жертвы, так часто наблюдаемое в природе. Фазовый портрет системы представляет собой концентрические замкнутые кривые, окружающие одну стационарную точку, называемую центром. Как видно, модельные колебания численности обеих популяций существенно зависят от начальных условий — после каждого периода колебаний система возвращается в ту же точку. Динамические системы с таким поведением называют негрубыми.

Рис. 1. График решения (слева) и фазовый портрет (справа) системы "хищник—жертва" (листинг 1)

Инструментальные многофункциональные информационные модели

Информационная модель - это модель объекта, процесса или явления, включающая информацию в качестве основной составляющей моделируемого объекта, процесса или явления.

Наиболее очевидными с точки зрения применения методов моделирования, несомненно, являются процессы управления, где на основе полученной информации необходимо принимать соответствующие решения. Обычно моделирование используется для исследования существующей системы, когда реальный эксперимент проводить нецелесообразно из-за значительных финансовых и трудовых затрат, а также при необходимости проведения анализа проектируемой системы, т.е. которая ещё физически не существует в данной организации. Для человека информационная модель является источником информации, на основе которой он формирует образ реальной обстановки.

Процесс построения модели является творческой процедурой, трудно поддающейся формализации. Модельные представления являются абстрактными образами элементов системы (объектов, технических средств, программного обеспечения и др.). Вместе они позволяют получить достаточно полное представление о создаваемой системе.

Количество групп элементов информационной модели определяется степенью детализации описания состояний и условий функционирования объекта управления. Как правило, элемент информационной модели связан с каким-либо параметром объекта управления.

Модель данных является способом отображения самих данных и их связей. Выделяют модели иерархических, сетевых и реляционных данных, как правило, входящих в состав систем управления базами данных (СУБД). В СУБД реализуются модели процессов накопления и применения информации и знаний.

В качестве инструментальных многофункциональных информационных моделей применяют, например, модели VIEW (англ. “Virtual Instruments Engineering Workbench”).

Для формирования модели используются:

 структурная схема объекта, подлежащего автоматизации;

структурно-функциональная схема автоматизируемого объекта;

 алгоритмы функционирования системы;

 схема расположения технических средств на объекте;

 схема связи и др.

Главная цель проведения моделирования любой системы – изыскание вариантов решений, которые позволяют улучшить основные показатели её деятельности.

Необходимым элементом моделирования является анализ потоков данных. Спрос на средства аналитической обработки данных постоянно растёт. При этом пользователи заинтересованы в получении средств, позволяющих автоматически искать не только заданные данные, но неочевидные правила и неизвестные закономерности. Для реализации подобных систем используют методы интеллектуального анализа данных, позволяющие на основе накопленной информации принимать нетривиальные решения и генерировать качественно новые знания, способствующие повышению эффективности решений и деятельности людей, предприятий, организаций и т.п. Логика интеллектуально решаемых аналитических задач заключается в том, что первичные документы, отчёты и сводные таблицы анализируются с целью выявления полученных показателей. Исследование произошедших событий и полученных результатов (Что произошло?) происходит с целью ответа на вопрос “Почему?”. В результате проведённого анализа формируются прогностические (прогнозные) модели, в которых даются варианты развития ситуации.

Сбор, обработка и анализ реальных данных функционирования системы или объекта моделирования даёт требуемые количественные оценки для разработки вариантов программно-технического обеспечения автоматизированных систем.

Сложные системы, метасистемы

При моделировании сложных объектов нельзя разобщать решаемые задачи. В противном случае получатся значительные затраты ресурсов и потери при реализации модели на конкретном объекте. Использование моделирования применительно к таким объектам требует одновременного исследования их взаимосвязей с внешней средой и другими элементами метасистемы.

Под сложными системами понимаются системы, обладающие большим числом элементов, свойства которых не могут быть предсказаны, опираясь на знания свойств отдельных частей системы и способы их соединения.

Литература.

1. Аршинов М.Н., Садовский Л.Е. Коды и математика. М., 1983. Брикелл Э.Ф., Одлижко Э.М. Криптоанализ: обзор новейших Результатов// ТИИЭР, 1988.- Т.76, N86.- С. 75-94.

2. Герасименко В.А., Размахнин U.K. Криптографические методы в автоматизированных системах// Зарубежная радиоэлектроника, 1982.- N8.- С. 97-123.

3. Диффи У.. Хеллмен М.Э. Защищенность и имитостойкость: введение в криптографию// ТИИЭР, 1979.- Т.63, N83.- С. 71-109.

4. Диффи У.. Хеллмен М.Э. Новое направление в криптографии// ТИИЭР, Т.22, 1976. Соколов А.В., Степанюк О.М. Методы информационной защиты объектов и компьютерных сетей. М., 2000.

5. Фролов Г. Тайны тайнописи. М., "Инфосервис Экспресс Лтд.", 1992.

6. Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем. Учебник для ВУЗов. – М.: Высшая школа, 1999. – 319 с.

7. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. – М.: Наука, 1978. – 399 с.

8. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. – М.: Изд-во МГУ, 1983. – 264 с.

9. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. – М.: Наука, 1982. – 296 с.

10. Марков А.А. Моделирование информационно-вычислительных процессов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. – 360 с.

11. Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем. – М.: Мир, 1984. – 264 с.

12. Бенькович Е.С., Колесов Ю.Б., Сениченков Ю.Б. Практическое моделирование динамических систем – СПб.: БХВ-Петербург, 2002. – 464 с.

13. Леоненков А.В. Самоучитель UML – СПб.: БХВ-Петербург, 2001. – 304 с.

14. Вендров А.М. CASE-технологии. Современные методы и средства проектирования информационных систем. – М.: Финансы и статистика, 1998. – 176 с.

15. Бычков С.П., Храмов А.А. Разработка моделей в системе моделирования GPSS. Учебное пособие. – М.: МИФИ, 1997. – 32с.

16. Кравченко П. П., Хусаинов Н. Ш. Имитационное моделирование вычислительных систем средствами GPSS/PC. – Таганрог: ТРТУ, 2000 г. – 116 с.

17. С.В. Маклаков. BPwin ERwin CASE-средства разработки информационных систем. –М.: Диалог-МИФИ, 2001. – 340 с.

18. Острейковский В.А. Теория систем: Учебник для вузов. М. Высшая школа, 1997.

19. Денисов А.А., Колесников Д.Н. Теория больших систем управления: Учебн. пособие для вузов. Л.: Энергоиздат, 1982.

20. Дружинин В.В., Конторов Д.С. Системотехника. М.: Радио и связь, 1985.

21. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. М.: Мир, 1978.

22. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера., «Технiка»,1975,768с.

23. Черняк А.А., Новиков В.А., Мельников О.И., Кузнецов А.В. Математика для экономистов на базе MathCAD. –СПб.: БХВ-Петербург, 2003,496 с.

1 См. Казначеев В.П. Учение о биосфере. М.: Знание, 1985. С.26.