1. Общие методические рекомендации
Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой дисциплины «Математика 2», по направлению подготовки 23.05.01 – Наземные транспортно-технологические средства.
Изучение дисциплины состоит из двух этапов:
Самостоятельная работа студентов в межсессионный период.
Для этого студентам рекомендуем ознакомиться с рабочей программой дисциплины, настоящими методическими указаниями и учебной литературой.
Предмет рекомендуем изучать по модулям и проверять усвоение знаний по вопросам для самопроверки, которыми завершается тема, составляя при этом краткий конспект. Запоминать специальную терминологию обязательно. Выполнить свой вариант контрольной работы, оформить и защитить.
Контрольная работа – самостоятельный труд студента, который способствует углублённому изучению пройденного материала.
Подготовку контрольной работы следует начинать с повторения соответствующего раздела учебника, учебных пособий по данной теме и конспектов лекций прочитанных ранее.
Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Все вычисления необходимо делать полностью. Для замечаний преподавателя нужно на каждой странице оставлять поля.
Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с последней цифрой его зачетной книжки.
2. Подготовка и обучение в период сессии.
Помимо лекций студент должен систематически и полно готовиться к каждому практическому занятию. Предварительно требуется изучить материал соответствующих лекций и прочитать учебник. Необходимо запомнить формулировки теорем и необходимые определения математических понятий. Требуется подробно разобрать типовые примеры, решенные в лекциях и учебнике. Желательно, закрыв книгу и тетрадь, самостоятельно решить те же самые примеры. Затем следует выполнить все домашние и незаконченные аудиторные задания. Задачи должны решаться с пояснениями и ссылками на соответствующие формулы и теоремы. Формулы следует выписывать с объяснениями соответствующих буквенных обозначений величин, входящих в них. Практические занятия проводятся с целью углубленного освоения материала лекции, выработки навыков в решении практических задач и производстве расчетов. Главным содержанием практических занятий является активная работа каждого студента.
Контрольные задания для студентов
Задания по теме «Случайные события»
а) Из 80 деталей 60 первого сорта. Какова вероятность того, что взятые наудачу 2 детали будут первого сорта?
б) Наладчик обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение дня первый станок потребует внимания наладчика, равна 0,2; второй – 0,3; третий – 0,4; четвертый – 0,25. Найти вероятность того, что в течение дня ни один станок не потребует внимания наладчика.
в) В связке имеются 5 различных ключей, из которых только одним можно открыть дверь. Наудачу выбирается ключ, и делается попытка открыть им дверь. Ключ, оказавшийся неподходящим, больше не используется. Найти вероятность того, что
- дверь будет открыта первым ключом;
- для открывания двери будет использовано не более двух ключей.
г) При приеме партии изделий подвергается проверке половина изделий. Условие приемки – наличие брака в выборке менее 2%. Вычислить вероятность того, что партия из 100 изделий, содержащая 5% брака, будет принята.
д) Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из 1-й группы 4 студента, из 2-й – 6, из 3-й - 5 студентов. Вероятность того, что отобранный студент из 1-й, 2-й, 3-й группы попадет в сборную института, равны соответственно 0,5; 0,4; 0,3;. Наудачу выбранный участник соревнования попал в сборную. К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?
2. а) Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий:
- на каждой из выпавших граней появится пять очков;
- на всех трех гранях появится одинаковое количество очков.
б) Наладчик обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение дня первый станок потребует внимания наладчика, равна 0,3; второй – 0,35; третий – 0,4; четвертый – 0,45. Найти вероятность того, что в течение дня ни один станок не потребует внимания.
в) Производится три выстрела по мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно 0,4; 0,5; 0,7. Найти вероятность того, что:
- в мишени будет ровно одна пробоина;
- в мишени будет хотя бы одна пробоина.
г) Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/8.
Какова вероятность того, что обладатель четырех билетов выиграет:
- по всем четырем;
- ни по одному;
- хотя бы по одному билету?
д) Самолет состоит из трех различных по уязвимости частей. Для поражения самолета достаточно одного попадания в первую часть, или двух попаданий во вторую, или трех в третью. Вероятность попадания в каждую из частей пропорциональна площади этих частей, которые занимают соответственно 0,1; 0,2; 0,7 площади всего самолета. В самолет попало два снаряда. Найти вероятность того, что самолет будет поражен.
а) Брошены четыре игральные кости. Найти вероятности следующих событий:
- на каждой из выпавших граней появится пять очков;
- на всех выпавших гранях появится одинаковое количество очков.
б) Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
в) Количества преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов относятся как 3:2:5. Вероятности раскрытия преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов соответственно равны 0,8; 0,9; 0,6. Найти вероятность того, что произвольное преступление будет раскрыто.
г) Два из четырех независимо работающих устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первое и второе устройство, если вероятности отказа первого, второго, третьего и четвертого устройств соответственно равны: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.
д) Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из 1-й группы 6 студента, из 2-й – 8, из 3-й - 5 студентов. Вероятность того, что отобранный студент из 1-й, 2-й, 3-й группы попадет в сборную института, равны соответственно 0,4; 0,6; 0,7; Наудачу выбранный участник соревнования попал в сборную. К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?
а) Брошены четыре игральные кости. Найти вероятности следующих событий:
- на каждой из выпавших граней появится пять очков;
- на всех выпавших гранях появится одинаковое количество очков.
б) Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,4; 0,4; 0,8; 0,7.
в) Количества преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов относятся как 4:2:3. Вероятности раскрытия преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов соответственно равны 0,8; 0,9; 0,7. Найти вероятность того, что произвольное преступление будет раскрыто.
г) Два из четырех независимо работающих устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первое и второе устройство, если вероятности отказа первого, второго, третьего и четвертого устройств соответственно равны: 0,1; 0,2; 0,2; 0,25.
д) Организацией послан курьер за различными документами в 4 архива. Вероятность наличия нужного документа в первом архиве равна 0.6; во втором – 0,65; в третьем – 0,8; в четвертом– 0,7. Найти вероятность того, что только в одном архиве не окажется нужного документа.
5. а) Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,3, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится шесть очков?
б) Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,5; 0,8; 0,6; 0,7.
в) Количества преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов относятся как 5:3:5. Вероятности раскрытия преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6. Найти вероятность того, что произвольное преступление будет раскрыто.
г) Организацией послан курьер за различными документами в 4 архива. Вероятность наличия нужного документа в первом архиве равна 0.6; во втором – 0,6; в третьем – 0,8; в четвертом– 0,9. Найти вероятность того, что только в одном архиве не окажется нужного документа.
д) Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из 1-й группы 6 студента, из 2-й – 8, из 3-й - 5 студентов. Вероятность того, что отобранный студент из 1-й, 2-й, 3-й группы попадет в сборную института, равны соответственно 0,6; 0,8; 0,7; Наудачу выбранный участник соревнования попал в сборную. К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?
а) Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий:
- на каждой из выпавших граней появится пять очков;
- на всех выпавших гранях появится одинаковое количество очков.
б) Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,4; 0,5; 0,7; 0,8.
в) Количества преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов относятся как 3:5:4. Вероятности раскрытия преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов соответственно равны 0,8; 0,9; 0,7. Найти вероятность того, что произвольное преступление будет раскрыто.
г) В ящике 60 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены три детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей:
- нет бракованных;
- нет годных.
д) Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из 1-й группы 3 студента, из 2-й – 6, из 3-й - 5 студентов. Вероятность того, что отобранный студент из 1-й, 2-й, 3-й группы попадет в сборную института, равны соответственно 0,8; 0,6; 0,7; Наудачу выбранный участник соревнования попал в сборную. К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?
а) Брошены пять игральных костей. Найти вероятности следующих событий:
- на каждой из выпавших граней появится пять очков;
- на всех выпавших гранях появится одинаковое количество очков.
б) Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,3, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится шесть очков?
в) Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
г) Количества преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов относятся как 5:2:5. Вероятности раскрытия преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов соответственно равны 0,7; 0,9; 0,6. Найти вероятность того, что произвольное преступление будет раскрыто.
д) Два из четырех независимо работающих устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первое и второе устройство, если вероятности отказа первого, второго, третьего и четвертого устройств соответственно равны: 0,1; 0,15; 0,2; 0,3.
8. а) Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится шесть очков?
б) Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,9; 0,4; 0,8; 0,7.
в) Количества преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов относятся как 3:5:2. Вероятности раскрытия преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6. Найти вероятность того, что произвольное преступление будет раскрыто.
г) При приеме партии изделий подвергается проверке 10% изделий. Условие приемки – наличие брака в выборке менее 2%. Вычислить вероятность того, что партия из 3000 изделий, содержащая 2% брака, будет принята.
д) Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из 1-й группы 6 студента, из 2-й – 3, из 3-й - 6 студентов. Вероятность того, что отобранный студент из 1-й, 2-й, 3-й группы попадет в сборную института, равны соответственно 0,8; 0,6; 0,7; Наудачу выбранный участник соревнования попал в сборную. К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?
9. а) Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,5, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится шесть очков?
б) Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,7; 0,6; 0,6; 0,7.
в) Количества преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов относятся как 3:8:5. Вероятности раскрытия преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов соответственно равны 0,8; 0,9; 0,7. Найти вероятность того, что произвольное преступление будет раскрыто.
г) Два из четырех независимо работающих устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первое и второе устройство, если вероятности отказа первого, второго, третьего и четвертого устройств соответственно равны: 0,1; 0,2; 0,3; 0,2.
д) Организацией послан курьер за различными документами в 4 архива. Вероятность наличия нужного документа в первом архиве равна 0.6; во втором – 0,5; в третьем – 0,6; в четвертом– 0,7. Найти вероятность того, что только в одном архиве не окажется нужного документа.
а) Брошены четыре игральные кости. Найти вероятности следующих событий:
- на каждой из выпавших граней появится пять очков;
- на всех выпавших гранях появится одинаковое количество очков.
б) Два из четырех независимо работающих устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первое и второе устройство, если вероятности отказа первого, второго, третьего и четвертого устройств соответственно равны: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.
в) При приеме партии изделий подвергается проверке 20% изделий. Условие приемки – наличие брака в выборке менее 2%. Вычислить вероятность того, что партия из 5000 изделий, содержащая 5% брака, будет принята.
г) В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены три детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей:
- нет бракованных;
- нет годных.
д) Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из 1-й группы 4 студента, из 2-й – 5, из 3-й - 4 студентов. Вероятность того, что отобранный студент из 1-й, 2-й, 3-й группы попадет в сборную института, равны соответственно 0,8; 0,6; 0,7; Наудачу выбранный участник соревнования попал в сборную. К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?
11. а) Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,5; 0,7; 0,6; 0,7.
б) Количества преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов относятся как 3:2:3. Вероятности раскрытия преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6. Найти вероятность того, что произвольное преступление будет раскрыто.
в) Организацией послан курьер за различными документами в 4 архива. Вероятность наличия нужного документа в первом архиве равна 0.6; во втором – 0,7; в третьем – 0,8; в четвертом– 0,9. Найти вероятность того, что только в одном архиве не окажется нужного документа.
г) В ящике 150 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены три детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей:
- нет бракованных;
- нет годных.
д) Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из 1-й группы 5 студентов, из 2-й – 4, из 3-й - 5 студентов. Вероятность того, что отобранный студент из 1-й, 2-й, 3-й группы попадет в сборную института, равны соответственно 0,6; 0,8; 0,7; Наудачу выбранный участник соревнования попал в сборную. К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?
12. а) Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,9; 0,8; 0,6; 0,6.
б) При приеме партии изделий подвергается проверке 20% изделий. Условие приемки – наличие брака в выборке менее 2%. Вычислить вероятность того, что партия из 5000 изделий, содержащая 5% брака, будет принята.
в) Организацией послан курьер за различными документами в 4 архива. Вероятность наличия нужного документа в первом архиве равна 0.8; во втором – 0,45; в третьем – 0,8; в четвертом– 0,9. Найти вероятность того, что только в одном архиве не окажется нужного документа.
г) В ящике 80 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены три детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей:
- нет бракованных;
- нет годных.
д) Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из 1-й группы 4 студента, из 2-й – 7, из 3-й - 5 студентов. Вероятность того, что отобранный студент из 1-й, 2-й, 3-й группы попадет в сборную института, равны соответственно 0,8; 0,6; 0,7; Наудачу выбранный участник соревнования попал в сборную. К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?
13. а) Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,9; 0,8; 0,6; 0,7.
б) Количества преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов относятся как 8:2:5. Вероятности раскрытия преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6. Найти вероятность того, что произвольное преступление будет раскрыто.
в) Два из четырех независимо работающих устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первое и второе устройство, если вероятности отказа первого, второго, третьего и четвертого устройств соответственно равны: 0,1; 0,4; 0,3; 0,2.
г) При приеме партии изделий подвергается проверке 40% изделий. Условие приемки – наличие брака в выборке менее 2%.Вычислить вероятность того, что партия из 4000 изделий, содержащая 5% брака, будет принята.
д) В ящике 80 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены четыре детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей:
- нет бракованных;
- нет годных.
14. а) Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,5, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится шесть очков?
б) Количества преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов относятся как 3:7:5. Вероятности раскрытия преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6. Найти вероятность того, что произвольное преступление будет раскрыто.
в) При приеме партии изделий подвергается проверке 25% изделий. Условие приемки – наличие брака в выборке менее 2%. Вычислить вероятность того, что партия из 5000 изделий, содержащая 4% брака, будет принята.
г) Организацией послан курьер за различными документами в 4 архива. Вероятность наличия нужного документа в первом архиве равна 0.8; во втором – 0,6; в третьем – 0,7; в четвертом– 0,6. Найти вероятность того, что только в одном архиве не окажется нужного документа.
д) Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из 1-й группы 6 студента, из 2-й – 4, из 3-й - 6 студентов. Вероятность того, что отобранный студент из 1-й, 2-й, 3-й группы попадет в сборную института, равны соответственно 0,9; 0,6; 0,7; Наудачу выбранный участник соревнования попал в сборную. К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?
15. а) Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,5; 0,8; 0,6; 0,7.
б) Количества преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов относятся как 5:3:9. Вероятности раскрытия преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов соответственно равны 0,8; 0,9; 0,7. Найти вероятность того, что произвольное преступление будет раскрыто.
в) Два из четырех независимо работающих устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первое и второе устройство, если вероятности отказа первого, второго, третьего и четвертого устройств соответственно равны: 0,1; 0,2; 0,3; 0,1.
г) При приеме партии изделий подвергается проверке 30% изделий. Условие приемки – наличие брака в выборке менее 2%. Вычислить вероятность того, что партия из 6000 изделий, содержащая 4% брака, будет принята.
д) В ящике 120 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены три детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей:
- нет бракованных;
- нет годных.
а) Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий:
- на каждой из выпавших граней появится пять очков;
- на всех выпавших гранях появится одинаковое количество очков.
б) Количества преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов относятся как 3:8:5. Вероятности раскрытия преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6. Найти вероятность того, что произвольное преступление будет раскрыто.
в) При приеме партии изделий подвергается проверке 40% изделий. Условие приемки – наличие брака в выборке менее 2%. Вычислить вероятность того, что партия из 10000 изделий, содержащая 5% брака, будет принята.
г) В ящике 150 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены три детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей:
- нет бракованных;
- нет годных.
д) Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из 1-й группы 3 студента, из 2-й – 5, из 3-й - 7 студентов. Вероятность того, что отобранный студент из 1-й, 2-й, 3-й группы попадет в сборную института, равны соответственно 0,8; 0,6; 0,7; Наудачу выбранный участник соревнования попал в сборную. К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?
а) Брошены четыре игральные кости. Найти вероятности следующих событий:
- на каждой из выпавших граней появится шесть очков;
- на всех выпавших гранях появится одинаковое количество очков.
б) Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,6; 0,4; 0,5; 0,7.
в) Количества преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов относятся как 8:2:5. Вероятности раскрытия преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6. Найти вероятность того, что произвольное преступление будет раскрыто.
г) Два из четырех независимо работающих устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первое и второе устройство, если вероятности отказа первого, второго, третьего и четвертого устройств соответственно равны: 0,1; 0,2; 0,3; 0,1.
д) Организацией послан курьер за различными документами в 4 архива. Вероятность наличия нужного документа в первом архиве равна 0.6; во втором – 0,85; в третьем – 0,7; в четвертом– 0,9. Найти вероятность того, что только в одном архиве не окажется нужного документа.
18. а) Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится шесть очков?
б) Два из четырех независимо работающих устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первое и второе устройство, если вероятности отказа первого, второго, третьего и четвертого устройств соответственно равны: 0,1; 0,2; 0,4; 0,2.
в) При приеме партии изделий подвергается проверке 20% изделий. Условие приемки – наличие брака в выборке менее 2%. Вычислить вероятность того, что партия из 4000 изделий, содержащая 4% брака, будет принята.
г) В ящике 250 деталей, из них 20 бракованных. Наудачу извлечены три детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей:
- нет бракованных;
- нет годных.
д) Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из 1-й группы 6 студента, из 2-й – 4, из 3-й - 5 студентов. Вероятность того, что отобранный студент из 1-й, 2-й, 3-й группы попадет в сборную института, равны соответственно 0,8; 0,6; 0,7; Наудачу выбранный участник соревнования попал в сборную. К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?
19. а) Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,6; 0,8; 0,6; 0,7.
б) Количества преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов относятся как 3:6:5. Вероятности раскрытия преступлений 1-го, 2-го и 3-го типов соответственно равны 0,8; 0,9; 0,7. Найти вероятность того, что произвольное преступление будет раскрыто.
в) Два из четырех независимо работающих устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первое и второе устройство, если вероятности отказа первого, второго, третьего и четвертого устройств соответственно равны: 0,3; 0,2; 0,3; 0,1.
г) При приеме партии изделий подвергается проверке 30% изделий. Условие приемки – наличие брака в выборке менее 2%. Вычислить вероятность того, что партия из 3000 изделий, содержащая 3% брака, будет принята.
д) Организацией послан курьер за различными документами в 4 архива. Вероятность наличия нужного документа в первом архиве равна 0.6; во втором – 0,7; в третьем – 0,8; в четвертом– 0,9. Найти вероятность того, что только в одном архиве не окажется нужного документа.
а) Брошены четыре игральные кости. Найти вероятности следующих событий:
- на каждой из выпавших граней появится пять очков;
- на всех выпавших гранях появится одинаковое количество очков.
б) Два из четырех независимо работающих устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первое и второе устройство, если вероятности отказа первого, второго, третьего и четвертого устройств соответственно равны: 0,2; 0,2; 0,3; 0,1.
в) При приеме партии изделий подвергается проверке 40% изделий. Условие приемки – наличие брака в выборке менее 2%. Вычислить вероятность того, что партия из 5000 изделий, содержащая 5% брака, будет принята.
г) В ящике 250 деталей, из них 30 бракованных. Наудачу извлечены три детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей:
- нет бракованных;
- нет годных.
д) Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из 1-й группы 3 студента, из 2-й – 8, из 3-й - 5 студентов. Вероятность того, что отобранный студент из 1-й, 2-й, 3-й группы попадет в сборную института, равны соответственно 0,8; 0,6; 0,7; Наудачу выбранный участник соревнования попал в сборную. К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?
Задания по теме «Повторение независимых испытаний».
1. а) На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 8-ми автомашин.
б) Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6-ти телевизоров:
- не более одного потребует ремонта;
- хотя бы один потребует ремонта.
в) Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 750 покупателей не более 120 потребуют обувь этого размера.
2. а) В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей:
два мальчика;
не более двух мальчиков;
более двух мальчиков;
не менее двух и не более трех мальчиков.
б) Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно сделать опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?
в) Процент отсева среди студентов первого курса составляет 10%. Найти вероятность того, что из 1200 студентов будет отчислено от 80 до 130 (включительно).
а) Что вероятнее выиграть у равносильного противника:
- три партии из четырех или пять из восьми?
- не менее трех партий из четырех или не менее пяти из восьми?
б) Процент отсева среди студентов первого курса составляет 15%. Найти вероятность того, что из 1000 студентов будет отчислено от 80 до 160 (включительно).
в) Мастерская по гарантийному ремонту телевизоров обслуживает 1000 абонентов. Вероятность того, что купленный телевизор потребует гарантийного ремонта, равна 0,2. Предполагая, что событие, вероятность которого 0,9973, достоверно, найти границы числа телевизоров, которые потребуют ремонта.
4. а) Процент отсева среди студентов первого курса составляет 10%. Найти вероятность того, что из 900 студентов будет отчислено от 80 до 110 (включительно).
б) Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,6.
Найти:
- границы числа попаданий в мишень при 600 выстрелах, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна 0,993;
- такое число выстрелов по мишени, при котором с вероятностью 0,993 можно ожидать, что отклонение частоты попаданий от вероятности 0,6 не превзойдет 0,03 (по абсолютной величине).
5. а) Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,04.
б) Найти число бросаний монеты, при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления орла отклонится от вероятности его появления по абсолютной величине не более чем на 0,02.
в) Отдел технического контроля проверяет 475 изделий на брак. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,05. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число бракованных изделий среди проверенных.
6. а) Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,7. Найти:
- границы числа попаданий в мишень при 500 выстрелах, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна 0,99;
- такое число выстрелов по мишени, при котором с вероятностью 0,98 можно ожидать, что отклонение частоты попаданий от вероятности 0,7 не превзойдет 0,03 (по абсолютной величине).
б) Мастерская по гарантийному ремонту телевизоров обслуживает 2000 абонентов. Вероятность того, что купленный телевизор потребует гарантийного ремонта, равна 0,1. Предполагая, что событие, вероятность которого 0,9973, достоверно, найти границы числа телевизоров, которые потребуют ремонта.
7. а) Процент отсева среди студентов первого курса составляет 9%. Найти вероятность того, что из 1500 студентов будет отчислено от 140 до 170 (включительно).
б) Мастерская по гарантийному ремонту телевизоров обслуживает 3000 абонентов. Вероятность того, что купленный телевизор потребует гарантийного ремонта, равна 0,25. Предполагая, что событие, вероятность которого 0,9973, достоверно, найти границы числа телевизоров, которые потребуют ремонта.
в) На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,9. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 10-и автомашин.
8. а) На автобазе имеется 10 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 8-ми автомашин.
б) Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,1. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6-ти телевизоров:
- не более одного потребует ремонта;
- хотя бы один потребует ремонта.
в) Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера, равна 0,15. Найти вероятность того, что из 700 покупателей не более 120 потребуют обувь этого размера.
9. а) В семье шесть детей. Найти вероятность того, что среди этих детей:
два мальчика;
не более двух мальчиков;
более двух мальчиков;
не менее двух и не более трех мальчиков.
б) Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,8. Сколько нужно сделать опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?
в) Процент отсева среди студентов первого курса составляет 10%. Найти вероятность того, что из 2200 студентов будет отчислено от 200 до 230 (включительно).
10. а) Процент отсева среди студентов первого курса составляет 12%. Найти вероятность того, что из 1000 студентов будет отчислено от 100 до 140 (включительно).
б) Мастерская по гарантийному ремонту телевизоров обслуживает 2000 абонентов. Вероятность того, что купленный телевизор потребует гарантийного ремонта, равна 0,15. Предполагая, что событие, вероятность которого 0,9973, достоверно, найти границы числа телевизоров, которые потребуют ремонта.
в) На автобазе имеется 15 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 12-и автомашин.
11. а) В семье семь детей. Найти вероятность того, что среди этих детей:
два мальчика;
не более двух мальчиков;
более двух мальчиков;
не менее двух и не более трех мальчиков.
б) Отдел технического контроля проверяет 675 изделий на брак. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,05. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число бракованных изделий среди проверенных.
а) Что вероятнее выиграть у равносильного противника:
- три партии из четырех или пять из восьми?
- не менее трех партий из четырех или не менее пяти из восьми?
б) Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти:
- границы числа попаданий в мишень при 800 выстрелах, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна 0,99;
- такое число выстрелов по мишени, при котором с вероятностью 0,98 можно ожидать, что отклонение частоты попаданий от вероятности 0,8 не превзойдет 0,03 (по абсолютной величине).
13. а) На автобазе имеется 11 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,9. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 8-ми автомашин.
б) Процент отсева среди студентов первого курса составляет 5%. Найти вероятность того, что из 1000 студентов будет отчислено от 40 до 100 (включительно).
в) Мастерская по гарантийному ремонту телевизоров обслуживает 2000
абонентов. Вероятность того, что купленный телевизор потребует гарантийного ремонта, равна 0,2. Предполагая, что событие, вероятность которого 0,9973, достоверно, найти границы числа телевизоров, которые потребуют ремонта.
14. а) В семье четверо детей. Найти вероятность того, что среди этих детей:
два мальчика;
не более двух мальчиков;
более двух мальчиков;
не менее двух и не более трех мальчиков.
б) Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,7. Сколько нужно сделать опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 250 опытов дадут положительный результат?
в) Найти число бросаний монеты, при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления орла отклонится от вероятности его появления по абсолютной величине не более чем на 0,03.
15. а) Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 43-го размера, равна 0,25. Найти вероятность того, что из 400 покупателей не более 90 потребуют обувь этого размера.
б) Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Найти:
- границы числа попаданий в мишень при 800 выстрелах, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна 0,99;
- такое число выстрелов по мишени, при котором с вероятностью 0,98 можно ожидать, что отклонение частоты попаданий от вероятности 0,75 не превзойдет 0,03 (по абсолютной величине).
16. а) На автобазе имеется 10 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 7-ми автомашин.
б) Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера, равна 0,15. Найти вероятность того, что из 900 покупателей не более 140 потребуют обувь этого размера.
в) Мастерская по гарантийному ремонту телевизоров обслуживает 1500
абонентов. Вероятность того, что купленный телевизор потребует гарантийного ремонта, равна 0,2. Предполагая, что событие, вероятность которого 0,9973, достоверно, найти границы числа телевизоров, которые потребуют ремонта.
17. а) В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей:
два мальчика;
не более двух мальчиков;
более двух мальчиков;
не менее двух и не более трех мальчиков.
б) Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,7. Сколько нужно сделать опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 200 опытов дадут положительный результат?
в) Вероятность появления события в каждом из 800 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,04.
18. а) Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 45-го размера, равна 0,1. Найти вероятность того, что из 500 покупателей не более 40 потребуют обувь этого размера.
б) Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,9. Найти:
- границы числа попаданий в мишень при 700 выстрелах, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна 0,99;
- такое число выстрелов по мишени, при котором с вероятностью 0,98 можно ожидать, что отклонение частоты попаданий от вероятности 0,9 не превзойдет 0,03 (по абсолютной величине).
19. а) Процент отсева среди студентов первого курса составляет 8%. Найти вероятность того, что из 900 студентов будет отчислено от 80 до 100 (включительно).
б) Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,7.
Найти:
- границы числа попаданий в мишень при 600 выстрелах, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна 0,993;
- такое число выстрелов по мишени, при котором с вероятностью 0,993 можно ожидать, что отклонение частоты попаданий от вероятности 0,7 не превзойдет 0,03 (по абсолютной величине).
в) Мастерская по гарантийному ремонту телевизоров обслуживает 3000
абонентов. Вероятность того, что купленный телевизор потребует гарантийного ремонта, равна 0,1. Предполагая, что событие, вероятность которого 0,9973, достоверно, найти границы числа телевизоров, которые потребуют ремонта.
20. а) Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,75. Сколько нужно сделать опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 100 опытов дадут положительный результат?
б) Найти число бросаний монеты, при котором с вероятностью 0,866 можно ожидать, что относительная частота появления орла отклонится от вероятности его появления по абсолютной величине не более чем на 0,03.
в) Отдел технического контроля проверяет 675 изделий на брак. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,03. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число бракованных изделий среди проверенных.
21. а) Процент отсева среди студентов первого курса составляет 10%. Найти вероятность того, что из 1000 студентов будет отчислено от 80 до 120 (включительно).
б) Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 40-го размера, равна 0,12. Найти вероятность того, что из 600 покупателей не более 40 потребуют обувь этого размера.
в) Мастерская по гарантийному ремонту телевизоров обслуживает 3000 абонентов. Вероятность того, что купленный телевизор потребует гарантийного ремонта, равна 0,15. Предполагая, что событие, вероятность которого 0,9973, достоверно, найти границы числа телевизоров, которые потребуют ремонта.
22. а) На автобазе имеется 13 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,9. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 10-ми автомашин.
б) Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,1. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 8-ти телевизоров:
- не более одного потребует ремонта;
- хотя бы один потребует ремонта.
в) Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера, равна 0,15. Найти вероятность того, что из 700 покупателей не более 100 потребуют обувь этого размера.
23. а) Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно сделать опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 300 опытов дадут положительный результат?
б) Найти число бросаний монеты, при котором с вероятностью 0,96 можно ожидать, что относительная частота появления орла отклонится от вероятности его появления по абсолютной величине не более чем на 0,02.
Контрольные задания по теме «Случайные величины».
Производится п независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Построить ряд распределения для случайной величины Х – число появлений события А в п опытах. Найти ее математическое ожидание и дисперсию.
Вариант |
п |
р |
В1 |
3 |
0,2 |
В2 |
4 |
0,3 |
В3 |
5 |
0,4 |
В4 |
3 |
0,5 |
В5 |
4 |
0,2 |
В6 |
5 |
0,3 |
В7 |
3 |
0,4 |
В8 |
4 |
0,5 |
В9 |
5 |
0,2 |
В10 |
3 |
0,3 |
В11 |
4 |
0,4 |
В12 |
5 |
0,5 |
В13 |
3 |
0,1 |
В14 |
4 |
0,2 |
В15 |
5 |
0,3 |
В16 |
3 |
0,4 |
В17 |
4 |
0,5 |
В18 |
5 |
0,1 |
В19 |
3 |
0,2 |
В20 |
4 |
0,3 |
В21 |
5 |
0,4 |
В22 |
3 |
0,5 |
В23 |
4 |
0,1 |
В24 |
5 |
0,2 |
В25 |
3 |
0,3 |
В26 |
4 |
0,4 |
В27 |
5 |
0,5 |
В28 |
4 |
0,2 |
В29 |
5 |
0,3 |
В30 |
3 |
0,4 |
Контрольные задания по теме «Вариационные ряды и выборочный метод».
Заданы две выборки по годам. Найти их средние и дисперсии.
Вариант |
Год |
1990 |
1991 |
1992 |
1993 |
1994 |
1995 |
1996 |
1997 |
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
|
В1 |
Показатель 1 |
100 |
101 |
100 |
113 |
115 |
113 |
113 |
111 |
112 |
115 |
120 |
122 |
125 |
130 |
|
Показатель 2 |
65 |
75 |
81 |
84 |
91 |
85 |
96 |
99 |
100 |
93 |
97 |
102 |
107 |
110 |
||
В2 |
Показатель 1 |
100 |
103 |
106 |
113 |
115 |
113 |
110 |
115 |
112 |
118 |
120 |
124 |
125 |
132 |
|
Показатель 2 |
75 |
79 |
85 |
84 |
95 |
95 |
96 |
99 |
100 |
96 |
99 |
102 |
109 |
115 |
||
В3 |
Показатель 1 |
100 |
105 |
110 |
113 |
115 |
113 |
113 |
115 |
112 |
115 |
120 |
122 |
125 |
128 |
|
Показатель 2 |
68 |
70 |
71 |
74 |
81 |
85 |
96 |
99 |
100 |
95 |
97 |
102 |
105 |
110 |
||
В4 |
Показатель 1 |
100 |
105 |
108 |
113 |
118 |
118 |
110 |
115 |
119 |
118 |
120 |
124 |
129 |
132 |
|
Показатель 2 |
70 |
79 |
85 |
84 |
85 |
85 |
96 |
99 |
100 |
98 |
99 |
102 |
105 |
112 |
||
В5 |
Показатель 1 |
100 |
102 |
109 |
113 |
115 |
113 |
118 |
119 |
122 |
125 |
120 |
122 |
125 |
135 |
|
Показатель 2 |
66 |
76 |
86 |
89 |
91 |
85 |
96 |
99 |
100 |
102 |
107 |
102 |
107 |
113 |
||
В6 |
Показатель 1 |
100 |
104 |
106 |
113 |
112 |
113 |
110 |
115 |
116 |
118 |
122 |
124 |
128 |
132 |
|
Показатель 2 |
72 |
75 |
82 |
86 |
93 |
95 |
96 |
99 |
100 |
99 |
99 |
102 |
109 |
112 |
||
В7 |
Показатель 1 |
100 |
105 |
108 |
113 |
118 |
118 |
113 |
115 |
112 |
115 |
120 |
122 |
125 |
128 |
|
Показатель 2 |
70 |
79 |
85 |
84 |
85 |
85 |
96 |
99 |
100 |
95 |
97 |
102 |
105 |
110 |
||
В8 |
Показатель 1 |
100 |
102 |
109 |
113 |
115 |
113 |
110 |
115 |
119 |
118 |
120 |
124 |
129 |
132 |
|
Показатель 2 |
66 |
76 |
86 |
89 |
91 |
85 |
96 |
99 |
100 |
98 |
99 |
102 |
105 |
112 |
||
В9 |
Показатель 1 |
101 |
100 |
113 |
115 |
113 |
113 |
111 |
111 |
112 |
115 |
120 |
122 |
125 |
130 |
|
Показатель 2 |
75 |
81 |
84 |
91 |
85 |
96 |
99 |
99 |
100 |
93 |
97 |
102 |
107 |
110 |
||
В10 |
Показатель 1 |
103 |
106 |
113 |
115 |
113 |
110 |
115 |
115 |
112 |
118 |
120 |
124 |
125 |
132 |
|
Показатель 2 |
79 |
85 |
84 |
95 |
95 |
96 |
99 |
99 |
100 |
96 |
99 |
102 |
109 |
115 |
||
В11 |
Показатель 1 |
105 |
110 |
113 |
115 |
113 |
113 |
115 |
115 |
112 |
115 |
120 |
122 |
125 |
128 |
|
Показатель 2 |
70 |
71 |
74 |
81 |
85 |
96 |
99 |
99 |
100 |
95 |
97 |
102 |
105 |
110 |
||
В12 |
Показатель 1 |
105 |
108 |
113 |
118 |
118 |
110 |
115 |
115 |
119 |
118 |
120 |
124 |
129 |
132 |
|
Показатель 2 |
79 |
85 |
84 |
85 |
85 |
96 |
99 |
99 |
100 |
98 |
99 |
102 |
105 |
112 |
||
В13 |
Показатель 1 |
102 |
109 |
113 |
115 |
113 |
118 |
119 |
119 |
122 |
125 |
120 |
122 |
125 |
135 |
|
Показатель 2 |
76 |
86 |
89 |
91 |
85 |
96 |
99 |
99 |
100 |
102 |
107 |
102 |
107 |
113 |
||
В14 |
Показатель 1 |
104 |
106 |
113 |
112 |
113 |
110 |
115 |
115 |
116 |
118 |
122 |
124 |
128 |
132 |
|
Показатель 2 |
75 |
82 |
86 |
93 |
95 |
96 |
99 |
99 |
100 |
99 |
99 |
102 |
109 |
112 |
||
В15 |
Показатель 1 |
105 |
108 |
113 |
118 |
118 |
113 |
115 |
115 |
112 |
115 |
120 |
122 |
125 |
128 |
|
Показатель 2 |
79 |
85 |
84 |
85 |
85 |
96 |
99 |
99 |
100 |
95 |
97 |
102 |
105 |
110 |
||
В16 |
Показатель 1 |
101 |
100 |
113 |
115 |
113 |
110 |
115 |
115 |
119 |
118 |
115 |
120 |
122 |
125 |
|
Показатель 2 |
75 |
81 |
84 |
91 |
85 |
96 |
99 |
99 |
100 |
98 |
93 |
97 |
102 |
107 |
||
В17 |
Показатель 1 |
103 |
106 |
113 |
115 |
115 |
113 |
113 |
111 |
112 |
115 |
118 |
120 |
124 |
125 |
|
Показатель 2 |
79 |
85 |
84 |
95 |
91 |
85 |
96 |
99 |
100 |
93 |
96 |
99 |
102 |
109 |
||
В18 |
Показатель 1 |
105 |
110 |
113 |
115 |
115 |
113 |
110 |
115 |
112 |
118 |
115 |
120 |
122 |
125 |
|
Показатель 2 |
70 |
71 |
74 |
81 |
95 |
95 |
96 |
99 |
100 |
96 |
95 |
97 |
102 |
105 |
||
В19 |
Показатель 1 |
105 |
108 |
113 |
118 |
115 |
113 |
113 |
115 |
112 |
115 |
118 |
120 |
124 |
129 |
|
Показатель 2 |
79 |
85 |
84 |
85 |
81 |
85 |
96 |
99 |
100 |
95 |
98 |
99 |
102 |
105 |
||
В20 |
Показатель 1 |
102 |
109 |
113 |
115 |
118 |
118 |
110 |
115 |
119 |
118 |
125 |
120 |
122 |
125 |
|
Показатель 2 |
76 |
86 |
89 |
91 |
85 |
85 |
96 |
99 |
100 |
98 |
102 |
107 |
102 |
107 |
||
В21 |
Показатель 1 |
104 |
106 |
113 |
112 |
115 |
113 |
118 |
119 |
122 |
125 |
118 |
122 |
124 |
128 |
|
Показатель 2 |
75 |
82 |
86 |
93 |
91 |
85 |
96 |
99 |
100 |
102 |
99 |
99 |
102 |
109 |
||
В22 |
Показатель 1 |
105 |
108 |
113 |
118 |
112 |
113 |
110 |
115 |
116 |
118 |
115 |
120 |
122 |
125 |
|
Контрольные задания по теме «Характеристики случайной величины»
Задание: Для случайной величины X построить ряд распределения и функцию распределения. Найти ее математическое ожидание, дисперсию, начальный момент второго порядка и третий центральный момент:
Стрелок делает по мишени 3 выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0.3. Случайная величина X – число попаданий в мишень.
Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты. Случайная величина X – число появлений герба.
Проводится 3 независимых опыта, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью 0.4. Случайная величина X – число появлений события А.
Игральную кость бросают 4 раза. Случайная величина X – число выпаданий шестерки.
Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.7. Случайная величина X – число попаданий в мишень.
Имеются три лампочки, каждая из которых с вероятностью 0.1 имеет дефект. При включении дефектная лампочка сразу же перегорает, после чего ее заменяют другой. Случайная величина X – число лампочек, которое будет испробовано.
Охотник стреляет до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.7. Случайная величина X – число выстрелов, произведенных охотником.
Два стрелка делают по выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0.3, вторым – 0.6. Случайная величина X – число попаданий в мишень.
Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0.1. Случайная величина X – число отказавших элементов в одном опыте.
В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Случайная величина X – число стандартных деталей среди отобранных.
Контрольные задания по теме «Функция распределения»
Задание: Для случайной величины X с заданной функцией распределения F(x) требуется найти: а) плотность вероятности; б) математическое ожидание и дисперсию; в) построить графики функции распределения и плотности вероятности случайной величины X:
1. 0 при x 1
F(x) = (x + 1)/2 при 1 x 1
1 при x 1
2. 0 при x 0
F(x) = sin x при 0 x /2
1 при x /2
3. 0 при x 0
F(x) = x /3 при 0 x 3
1 при x 3
4. 0 при x 1
F(x) = (x - 1)/2 при 1 x 3
1 при x 3
5. 0 при x 0
F(x) = x /4 при 0 x 4
1 при x 4
6. 0 при x 1
F(x) = (x + 1)/2 при 1 x 1
1 при x 1
7. 0 при x 0
F(x) = x /5 при 0 x 5
1 при x 5
8. 0 при x - /2
F(x) = cos x при /2 x 0
1 при x 0
9. 0 при x 0
F(x) = x2/4 при 0 x 2
1 при x 2