Практическое занятие № 3 совместный закон распределения двух случайных величин
Цель занятия. Знать совместный закон распределения двух случайных величин. Уметь решать задачи на теоремы о повторении опытов.
Учебные вопросы:
1
94
1. Совместный закон распределения двух случайных величин
Пример. В двух урнах содержатся шары, по 6 шаров в каждой. В первой урне один шар с №1, два шара с №2, три шара с №3; во второй урне два шара с №1, три шара с №2 и один шар с номером №3. Рассматриваются случайные величины:
1 – номер шара, извлеченного из первой урны,
2 – номер шара, извлеченного из второй урны.
Из каждой урны извлекли по шару. Найти закон распределения случайной точки (1, 2) и ее числовые характеристики.
решение. Закон распределения случайной точки (1, 2) имеет вид:
2 1 |
1 |
2 |
3 |
|
Вероятности pij вычисляются следующим образом: p11 = P (1 =1 и 2 = 1) = Р(1 =1) · Р(2 = 1) = =
p22 = P (1 =2 и 2 = 2) = Р(1 =2) · Р(2 = 2) = =
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
;
=
.
По закону распределения случайной точки (1, 2) можно составить законы распределения случайных величин 1 и 2.
1
:
,
2
:
.
;
.
Имеем:
1
:
,
2
:
.
;
;
;
;
.
;
.
Коэффициент корреляции найдем по формуле
.
Имеем
.
Тогда
.
Этот результат можно предвидеть, так как 1 и 2 независимы из условия.
Пример. Ниже приведены данные о заработной плате работников определенной отрасли. Было обследовано 100 человек.
Зарплата в долларах |
190-192 |
192-194 |
194-196 |
196-198 |
198-200 |
200-202 |
202-204 |
204-206 |
206-208 |
Число человек (ni) |
1 |
5 |
9 |
22 |
28 |
19 |
11 |
4 |
1 |
Пусть случайная величина ξ – зарплата наугад взятого работника. Требуется для случайной величины ξ:
Составить выборочное распределение.
Построить гистограмму и график выборочной функции распределения.
Найти состоятельные и несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии.
Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с уровнем доверия р=0,95.
На основании анализа формы полученной гистограммы выдвинуть гипотезу о законе распределения и проверить справедливость гипотезы по критерию Пирсона с уровнем значимости α=0,05.
Решение:
Составим таблиц. Учитывая, что объем выборки n = 100, получим:
190-192 |
192-194 |
194-196 |
196-198 |
198-200 |
200-202 |
202-204 |
204-206 |
206-208 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Построим гистограмму (рис.1):
Рис.1. Гистограмма выборочной функции распределения.
Для построения графика выборочной функции распределения (см. рис.2) составим таблицу 2:
1 |
193 |
195 |
197 |
199 |
201 |
203 |
205 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91
07
Рис.2. График выборочной функции распределения.
3. Найдем оценки математического ожидания а* и дисперсии D*.
Если в качестве элементов выборки взять середины интервалов βi, i=1,2,…,m, тогда получаем:
где ni – частоты попадания в интервал (даны в условии).
Тогда получим:
4. Построим доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.
С р = 0,95 имеют место интервальные оценки:
По таблице квантилей (IV,V) найдем:
t0,975(99)=1,99;
Подставляя эти значения, получим:
с вероятностью 0,95 верны неравенства
5. Построенная гистограмма по форме напоминает график плотности вероятности нормального распределения. Поэтому естественно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении случайной величины ξ. Проверим справедливость выдвинутой гипотезы по критерию Пирсона с уровнем значимости α=0,05. Тогда гипотетическая функция распределения случайной величины ξ имеет вид:
.
Далее используем правило проверки гипотезы.
1)
Вычисляем квантиль
Имеем р=1-α=0,95, m=9, l=2.
По таблице IV приложения находим
2) вычисляем Zвыб. Для этого удобно результаты вычислений вносить в следующую таблицу
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рк |
0,002 |
0,0512 |
0,1158 |
0,2099 |
0,2548 |
0,2058 |
0,1106 |
0,0395 |
0,0094 |
Вероятности попадания рi в интервалы будем вычислять по формуле
Было получено а*=198,96, σ*=3,07.
3. Окончательно имеем
Zвыб=4,151<12,6=
что означает: гипотезу о нормальном распределении случайной величины ξ принимаем.
Задачи для самостоятельного решения.
В приведенных ниже задачах на основе заданного распределения случайной точки (ξ1, ξ2) найти:
1) одномерные законы распределения случайных величин ξ1, ξ2 и их числовые характеристики;
2) коэффициент корреляции случайных величин ξ1, ξ2.
Вариант |
Числовые характеристики |
Вариант |
Числовые характеристики |
||||||
1 |
ξ2 ξ1 |
1 |
2 |
3 |
6 |
ξ2 ξ1 |
2 |
3 |
4 |
2 |
0,16 |
0,10 |
0,28 |
1 |
0,16 |
0,10 |
0,28 |
||
3 |
0,14 |
0,20 |
0,12 |
3 |
0,14 |
0,20 |
0,12 |
||
2 |
ξ2 ξ1 |
2 |
3 |
5 |
7 |
ξ2 ξ1 |
2 |
4 |
5 |
1 |
0,06 |
0,18 |
0,24 |
1 |
0,12 |
0,13 |
0,24 |
||
4 |
0,12 |
0,13 |
0,27 |
3 |
0,18 |
0,06 |
0,27 |
||
3 |
ξ2 ξ1 |
1 |
2 |
4 |
8 |
ξ2 ξ1 |
4 |
5 |
6 |
3 |
0,12 |
0,24 |
0,22 |
2 |
0,06 |
0,18 |
0,24 |
||
4 |
0,20 |
0,15 |
0,07 |
3 |
0,12 |
0,13 |
0,27 |
||
4 |
ξ2 ξ1 |
2 |
3 |
4 |
9 |
ξ2 ξ1 |
2 |
4 |
5 |
1 |
0,16 |
0,10 |
0,28 |
1 |
0,12 |
0,13 |
0,24 |
||
3 |
0,14 |
0,20 |
0,12 |
3 |
0,18 |
0,06 |
0,27 |
||
5 |
ξ2 ξ1 |
2 |
3 |
5 |
10 |
ξ2 ξ1 |
1 |
3 |
4 |
4 |
0,06 |
0,18 |
0,24 |
3 |
0,13 |
0,24 |
0,12 |
||
6 |
0,12 |
0,13 |
0,27 |
6 |
0,18 |
0,06 |
0,27 |
||
МОДУЛЬ 2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Практическое занятие № 3
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ.
ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ.
Цель занятия. Уметь находить точечные и интервальные оценки. Решать задачи по проверке параметрических гипотез.
Учебные вопросы:
1. Нахождение точечных и интервальных оценок.
2. Решение задач по проверке параметрических гипотез.
1. Нахождение точечных и интервальных оценок
Интервальной
оценкой
называется множество точечных оценок,
которое зависит от результатов наблюдений
и, следовательно, является случайным.
Интервальной называется оценку, которая
определяется двумя числами – концами
ин-тервала. Поэтому каждой интервальной
оценке ставится в соответствие
довери-тельная вероятность или надежность,
с которой эта оценка накроет неизвестный
параметр. В качестве надежности берут
число близкое к единице. Вероятность
того, что интервал
заключает в себе (покрывает) неизвестный
параметр Θ,
равна p:
Доверительным называется интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью γ. Наиболее часто p равно 0,9; 0,95; 0,99; 0,999. При исследованиях в фарма-ции, медицине и биологии доверительную вероятность принимают равной 0,95.
Нахождение доверительного интервала для оценки μ нормального распределения при неизвестном σ. Распределение Стьюдента.
Пусть с испытанием связана случайная величина с неизвестными числовыми характеристиками (а, D) и пусть по выборке (40) вычислены оценки
Зададимся числом р в интервале (0,1).
1.
Известно, что количественный признак
х генеральной совокупности рас- пределен
нормально. По выборке объема n = 20 найдены
выборочная средняя
= 5, 01 и несмещенная оценка дисперсии S2
= 0,81. Определить интервальную оценку
математического ожидания с доверительной
вероятностью р=0,95.
Пример.
Выполнена выборка значений случайной
величины
объема n
= 25 и вычислены
состоятельные несмещенные оценки для
математического ожидания и дисперсии:
Найти доверительные интервалы для
математического ожидания и дисперсии
с уровнем доверия р
= 0,95.
В силу неравенств (44), (45) с р = 0,95 имеют место интервальные оценки:
;
.
По таблице квантилей (IV, V) найдем:
.
Подставляя эти значения, получим: с вероятностью 0,95 верны неравенства: