- •Лекция № 1 Тема: Алгебра событий
- •1. События, их классификация, вероятность события.
- •2. Операции над событиями.
- •Свойства классической вероятности:
- •4. Теорема сложения и умножения вероятностей.
- •Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна
- •5. Формула Бернулли. Формулы полной вероятностей и Байеса.
- •5.1. Повторение испытаний. Формула Бернулли.
- •5.2. Формула полной вероятности
- •5.3. Формула Бейеса. (формула гипотез)
- •6. Локальная и интегральная теорема Лапласа.
- •Лекция № 2 Тема: Характеристики случайных величин. Распределения случайных величин
- •1. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •2. Основные законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин (биномиальный, геометрический, нормальный, показательный, равномерное распределение).
- •2.1. Биноминальное распределение.
- •2.3. Равномерное распределение.
- •2.4. Показательное распределение.
- •2.5. Нормальный закон распределения.
- •Лекция № 3 Тема: Распределения случайных величин
- •1. Функция, плотность распределения
- •2.1. Функция распределения.
- •Свойства функции распределения:
- •2.2. Плотность распределения.
- •Свойства плотности распределения:
- •2. Числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана).
- •Свойства математического ожидания:
- •Вычисление дисперсии.
- •Свойства дисперсии.
- •Среднее квадратическое отклонение.
- •Лекция № 4 Тема: Формы представления статистических данных.
- •Предмет математической статистики
- •1. Выборка из генеральной совокупности. Вариационный ряд. Гистограмма относительных частот
- •Выборочная функция распределения
- •Лекция № 5 Тема: Оценка параметров распределения.
- •1. Выборочные оценки параметров случайной величины. Основные требования к оценкам
- •2. Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации
- •Два распределения, связанные с нормальным законом
- •Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии
- •Лекция № 6 Тема: Проверка статистических гипотез
- •Правило проверки гипотезы о законе распределения:
- •Критерии согласия
- •2. Параметрические гипотезы.
- •Традиционный метод проверки однородности двух независимых выборок (критерий Стьюдента)
- •Общая постановка задачи проверки гипотез:
- •Лекция № 7 Тема: Математическая формулировка экономических и производственных задач
- •1. Представление ограничений ресурсов, капиталовложений и т.Д. В виде линейных неравенств.
- •Каноническая задача линейного программирования
- •Общая задача линейного программирования
- •2. Определение функции цели и нахождение вектора решений, удовлетворяющего задаче с заданными ограничениями.
- •Лекция № 8 Тема: Графический способ определения оптимального плана
- •1. Графическое решение задач с двумя неизвестными, заданных линейными неравенствами ограничений.
- •Частные случаи использования графического метода
- •Общий алгоритм графического метода
- •2. Построение выпуклого многоугольника возможных решений и определение оптимального плана с помощью градиента функции цели.
- •Лекция № 9 Тема: Симплексный метод для задач с естественным базисом
- •1. Симплекс-метод. Алгоритм симплекс-метода.
- •1. Симплекс-метод. Алгоритм симплекс-метода.
- •Алгоритм симплекс-метода
- •2. Введение естественных базисных переменных. Построение симплексной таблицы. Определение нулевого плана.
- •Лекция № 10 Тема: Симплексный метод для задач с искусственным базисом
- •Лекция № 11 Тема: Закрытая транспортная задача
- •1. Математическая формулировка закрытой транспортной задачи. Определение необходимого количества неизвестных.
- •2. Этапы определения плана решения транспортной задачи.
- •Лекция № 12 Тема: Открытая транспортная задача
- •1. Математическая формулировка открытой транспортной задачи.
- •2. Введение фиктивного поставщика (потребителя) для сведения данной транспортной модели к зтз.
- •Методическое обеспечение
- •2. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •3. Формула Бернулли.
- •4. Применение локальной и интегральной теоремы Лапласа.
- •Практическое занятие № 2 основные законы распределения дискретных случайных величин
- •1. Решение задач на биномиальный закон распределения.
- •2. Основные законы распределения.
- •3. Решение задач на закон Пуассона.
- •Практическое занятие № 3 совместный закон распределения двух случайных величин
- •1. Совместный закон распределения двух случайных величин
- •2. Решение задач по проверке параметрических гипотез.
- •Проверка гипотезы о законе распределения случайной величины по данным опыта
- •Модуль 3. Методы моделирования производственных процессов.
- •Требования к содержанию отдельных частей отчета по лабораторной работе
- •Лабораторная работа № 1 графический (геометрический) способ определения оптимального плана.
- •1. Математическая формулировка смысловой экономической задачи.
- •2. Построение выпуклого многоугольника возможных решений.
- •3. Варианты заданий лабораторной работы:
- •Лабораторная работа № 2 составление математической модели производственной задачи
- •1. Представление ограничений ресурсов в видее математических неравенств. Введение естественных или искусственных базисных переменных.
- •2. Формулировка функции цели.
- •3. Составление и преобразование симплексной таблицы для получения оптимального плана.
- •4. Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 3, № 4 модель оптимального состава машинно-тракторного парка (мтп) для выполнения заданных с/х работ
- •4. Лабораторная работа № 4. Модель оптимального доукомплектования мтп.
- •1. Введение основных переменных по количеству используемых агрегатов.
- •2. Составление ограничений на данные переменные. Определение целевой функции.
- •3. Математическая формулировка задачи для использования программного продукта.
- •Лабораторная работа № 4. Модель оптимального доукомплектования мтп.
- •4. Порядок выполнения работы. Варианты заданий
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа № 5 транспортная задача с закрытой моделью
- •1. Составление распределительной таблицы между поставщиками и потребителями
- •2. Поиск клеток с отрицательными потенциалами в планах «северо-западного угла» и «минимального элемента».
- •3. Порядок выполнения работы. Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 6 Транспортная задача с открытой моделью
- •1.Составление распределительной таблицы между поставщиками и потребителями, введение фиктивного потребителя для превращения данной модели в закрытую.
- •2. План выполнения работы. Варианты заданий
- •1. Общие методические рекомендации
- •Контрольные задания для студентов
Лекция № 10 Тема: Симплексный метод для задач с искусственным базисом
Симплексный метод решения базируется на введении дополнительных (базисных) переменных, позволяющих образовать единичную матрицу. Если ограничения задачи представлены в виде неравенств:
ai1 X1 + ai2 X2 +…ain X n ≥ bi (1)
или уравнений:
ai1 X1 + ai2 X2 +…ain X n = bi (1*),
то невозможно получить опорный план в искомом виде. В этом случае для соблюдения равенств (1*) вводится искусственный базис Yi , причем искусственные переменные не имеют непосредственного отношения к содержанию поставленной задачи, но позволяют построить опорный (стартовый) план:
ai1 X1 + ai2 X2 +…ain X n +Yi = bi (2)
Целевая функция при решении задачи на максимум запишется в виде:
Z(X) =∑CjXj+(-M)∑Yi (3),
при решении аналогичной задач на минимум :
Z(X)=∑CjXj+(M)∑Yi (3*),
где М – очень большое положительное число, своего рода штраф за использование искусственных переменных.
В случае неравенств (1) первоначально вводим дополнительные переменные Хn+i со знаком минус. Их матрица не будет единичной, поэтому в каждое неравенство системы (1) вводим искусственные переменные Уi:
ai1X1+ai2X2+…ainXn–Xn+i+Yi=bi (4)
Целевая функция при этом Z(X)=∑CjXj+0∑Xn+i+(-M)∑Yi (для нахождения максимума). Применение искусственного базиса придает симплексному методу большую гибкость и позволяет использовать его для широкого круга задач.
Пример. Определить максимальное и минимальное значение прибыли при выпуске двух видов продукции А и В, если затраты на производство и доходность от реализации единицы продукции приведены в таблице. Основным условием является полная занятость рабочих на предприятии.
Виды ресурсов |
Нормы затрат на производство 1 т |
Запасы ресурсов |
|
Группа А |
Группа В |
||
Сырье ,т |
1,0 |
1,0 |
6 |
Рабочее время чел.-час |
2,0 |
1,0 |
8 |
Доход с 1 т, тыс. руб. |
3 |
2 |
|
Математически ограничения выпуска продукции запишутся в виде смешанной системы:
1Х1 + 1Х2≤ 6,
2Х1 + 1Х2 =8.
Введем для первого неравенства базисную переменную Х3, а для второго уравнения искусственную переменную Y1:
1Х1 + 1Х2+ Х3 = 6,
2Х1 + 1Х2 +Y1 =8.
Выразим из полученной системы уравнений Х3 и Y1 и для определения максимума целевую функцию представим:
Z(X)= 3X1+ 2X2+0X3 –MY1= 3X1+ 2X2 –M(8 -2X1 –X2)=
= 3X1+ 2X2 –8M +2MX1 + MX2 = (2M + 3)X1 + (M + 2)X2 -8M
Для опорного плана - Х=(0,0,6,8). Построим симплексную таблицу:
План |
Базис |
Ci/Cj |
Знач. Xi |
X1 |
X2 |
X3 |
Y1 |
Qmin |
0
|
X3 |
0 |
6 |
1 |
1 |
1 |
0 |
6/1=6 |
Y1 |
-M |
8 |
2 |
1 |
0 |
1 |
8/2=4 |
|
Z(X) = -8M |
-2M-3 |
-M-2 |
0 |
0 |
Индексная строка |
|||
1 |
X3 |
0 |
2 |
0 |
0,5 |
1 |
-0,5 |
2/0,5=4 |
→X1 |
3 |
4 |
1 |
0,5 |
0 |
0,5 |
4/0,5=8 |
|
Z(X) = 3*4=12 |
0 |
- 0,5 |
0 |
М+1,5 |
Индексная строка |
|||
2 |
→X2 |
2 |
4 |
0 |
1 |
2 |
-1 |
- |
X1 |
3 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
1 |
- |
|
Z(X) =3*2+2*4=14 |
0 |
0 |
1 |
М+1 |
Индексная строка |
|||
Как правило, улучшение опорного плана начинается с выведения из базиса искусственной переменной Y1 .Оптимальный план Х=(2,4,0,0) получен на второй итерации, при этом доход максимален 14тыс. руб. , а коэффициенты индексной строки неотрицательны. Легко убедиться, что в данной задаче при оптимальном плане ресурсы использованы полностью (2*1+4*1=6; 2*2+1*4=8).
При нахождении минимальной доходности иначе формулируем целевую функцию ( в качестве слагаемого вводится +MY1 :
Z(X)= 3X1+ 2X2+0X3 +MY1= 3X1+ 2X2 +M(8 -2X1 –X2)=
= 3X1+ 2X2 +8M - 2MX1 - MX2 = (3 - 2M)X1 + (2 - M )X2 +8M
Опорный план тот же , но коэффициенты индексной строки в симплексной таблице иные. Ведущий столбец, по-прежнему, выбираем по наибольшему по абсолютному значению положительному коэффициенту при X1 , ведущая строка определяется по минимальному значению Qmin=4.При первой итерации из базиса выводится искусственная переменная Y1.
План |
Базис |
Ci/Cj |
Знач. Xi |
X1 |
X2 |
X3 |
Y1 |
Qmin |
||
0 |
X3 |
0 |
6 |
1 |
1 |
1 |
0 |
6/1=6 |
||
Y1 |
M |
8 |
2 |
1 |
0 |
1 |
8/2=4 |
|||
Z(X) = 8М |
2M-3 |
M-2 |
0 |
0 |
Индексная строка |
|||||
1 |
X3 |
0 |
2 |
0 |
0,5 |
1 |
-0,5 |
2/0,5=4 |
||
→X1 |
3 |
4 |
1 |
0,5 |
0 |
0,5 |
4/0,5=8 |
|||
Z(X) = 3*4=12 |
0 |
- 0,5 |
0 |
-М+1,5 |
Индексная строка |
|||||
Полученные отрицательные значения коэффициентов в индексной строке Xi свидетельствуют об оптимальности 1-ого плана, при этом минимальный доход 12 тыс. рублей.
Он обеспечивается только выпуском продукции А (продукция В не выпускается), сырье не используется полностью (остаток Х3 = 2т), при этом выполнено основное условие - рабочие полностью заняты на производстве.