2. Введение естественных базисных переменных. Построение симплексной таблицы. Определение нулевого плана.

Симплекс-метод наиболее эффективен при решении сложных задач и представляет итерационный (шаговый) процесс, начинающийся с нулевого (опорного) решения (вершины n-мерного многогранника). Далее в поисках оптимального варианта плана предполагается движение по угловым точкам (вершинам многогранника) до тех пор, пока значения целевой функции не достигнет максимальной (минимальной) величины. Рассмотрим алгоритм симплексного метода на примере задачи планирования товарооборота при ограниченных ресурсах сырья.

Предприятие реализует n товарных групп, располагая m ограниченными материально-денежными ресурсами b_i ≥0 (1 ≤ i ≤ m) . Известны расходы ресурсов каждого i- вида на производство и реализацию единицы товара каждой группы, представленные в виде матрицы (a_ij) и прибыль, получаемая предприятием от реализации единицы товара j-группы, входящая в целевую функцию Z(X). Метод линейного программирования не отличается от системы (1) - (2):

Z(X) = с₁ Х₁ + с₂ Х₂ + с₃ Х₃ + … +с_n Х_n →max(min) (1)

a₁₁ X₁ + a₁₂ X₂ +…a_1n X _n ≤ b_1,

а₂₁ X₁ + a₂₂ X₂ +…a_2n X _n ≤ b₂ (2)

a_m1 X₁ + a_m2 X₂ +…a _mn X _n ≤ b _m,

X₁≥0 X₂≥0 X₃≥0 …X _n ≥0

Этапы решения поставленной задачи симплексным методом включают:

1) Составление нулевого опорного плана. Вводим новые неотрицательные (базисные) переменные, благодаря которым система неравенств (2) становится системой уравнений:

a₁₁ X₁ + a₁₂ X₂ +…a_1n X _n + X_n+1 = b₁

a₂₁ X₁ + a₂₂ X₂ +…a_2n X _n + X_n+2 = b₂ (3)

……………………………………..

a_m1 X₁ + a_m2 X₂ +…a _mn X _n + X_n+m = b _m,

Если принимать вводимые переменные за векторы-столбцы, то они представляют собой единичные (базисные) векторы. Отметим, что базисные переменные имеют простой физический смысл – это остаток конкретного ресурса на складе при заданном плане выпуска продукции, поэтому данный базис называют естественным. Решаем систему (3) относительно базисных переменных:

X_n+1 = b_1, -a₁₁ X₁ - a₁₂ X₂ -…a_1n X _n

X_n+2 = b₂ - a₂₁ X₁ - a₂₂ X₂ -…a_2n X _n (4)

………………………………………..

X_n+m = b _m, - a_m1 X₁ + a_m2 X₂ +…a _mn X _n

Целевую функцию перепишем в виде

Z(X) = 0-(-с₁Х₁-с₂Х₂-с₃Х₃-…-с_nХ_n) (5)

Полагая, что искомые основные переменные Х₁ = X₂ = X₃ = … = X_n = 0, получаем нулевой опорный план Х = (0, 0, …0, b₁, b_2, b_{3 …} b_m ), при котором Z(X) = 0 (все ресурсы на складе, ничего не производится). Заносим план в симплексную таблицу.

План	Базис	Ci/Cj	Знач. Xi	X1	X2	Xn	Xn+1	Xn+2	Xn+3	Qmin
0	Xn+1	0	b1	a11	a12	a13	1	0	0	b1/ a12
	Xn+2	0	b2	a21	a22	a23	0	1	0	b2/ a22
	Xn+3	0	b3	a31	a32	a33	0	0	1	b3/ a32
Z(X) = 0				-C1	- C2	- C3	0	0	0	Индекс. строка

2) Из отрицательных коэффициентов индексной строки выбираем наибольший по абсолютной величине, что определяет ведущий столбец и показывает – какая переменная на следующей итерации (шаге) перейдет из основных (свободных) в базисные (фактически выбирается товарная группа, чья реализация приносит максимальный доход). Затем запасы сырья b_i делим на соответствующие коэффициенты затрат, результаты заносим в таблицу и определяем минимальное значение Q_min (выбирается ресурс, чей запас наиболее сильно ограничивает выпуск выбранной товарной группы). Это значение выделяет ведущую строку и переменную Х_i , которая при следующем шаге (итерации) выйдет из базиса и станет свободной.

3) Переход к новому плану осуществляется в результате пересчета симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса. Сначала заменим в базисе Х_j на Х_i ведущего столбца. Разделим все элементы ведущей строки на разрешающий элемент (РЭ), в результате чего на месте РЭ в ведущей строке будет 1. Так как Х_i стал базисным, то остальные его коэффициенты должны быть равны 0. Новые элементы этого плана находятся по правилу прямоугольника

НЭ=СЭ – (А*В)/РЭ (6)

Оценка полученного плана производится по коэффициентам индексной строки: если они все положительны, то план оптимален, если нет, то план можно улучшить, производя следующую итерацию (шаг).

Пример. На приобретение оборудования для производственного участка выделено 20 тыс.руб. Оборудование может быть размещено на площади, не превышающей 72 кв.м. Можно заказать оборудование двух типов: типа А, требующие производственную площадь 6кв.м и дающие 6 тыс.ед. продукции в смену ( цена 5000 руб.) и типа В, требующие площадь 12 кв.м и дающие 3тыс.ед., (цена 2000 руб.). Каков оптимальный план приобретения оборудования, обеспечивающий максимальную производительность участка?

Обозначим количество приобретаемого оборудования типа А и В через Х₁ и Х₂ соответственно.

Производительность участка (целевая функция) : Z(X) =6Х₁+3Х₂.

Основные ограничения связаны

с денежными средствами : 5Х₁+2Х₂ ≤ 20,

с площадью производственного участка : 6Х₁+12Х₂ ≤ 72.

Вводим новые базисные переменные Х₃ (остаток денежных средств после закупки оборудования) и Х₄ (остаток площадей после размещения оборудования) и перепишем ограничения в виде системы уравнений:

5X₁+2Х₂+X₃=20 (X₃=20 – 5X₁ - 2X₂)

6Х₁+12Х₂+X₄ = 72 (X₄=72 – 6X₁ – 12X₂)

При этом функция цели: Z(X) =6Х₁+3Х₂+0Х₃+0Х₄.

Составляем опорный (0-ой) план: Х= (0, 0, 20, 72), т.е. пока ничего не приобретено (деньги не потрачены, площади пустуют). Составляем симплексную таблицу

План	Базис			Ci/Cj	Знач. Xi		X1	X2	X3	X4	Qmin
0	X3			0	20		5	2	1	0	20/5=4
	X4			0	72		6	12	0	1	72/6=12
Z(X) = 0							- 6	- 3	0	0	Индексная строка
1		→X1	6			4	1	0,4	0,2	0	4/0,4=10
		X4	0			48	0	9,6	-1,2	1	48/9,6=5
Z(X) = 6*4=24							0	-0,6	1,2	0	Индексная строка
2		X1	6			2	1	0	0,25	-1/24	-
		→X2	3			5	0	1	-1/8	5/48	-
Z(X) =6*2+3*5=27							0	0	9/8	1/16	Индексная строка

Очевидно, что ведущий столбец соответствует Х₁, так как имеет самый большой индекс 6. Находим минимальное значение Q_min = 4 ( самое жесткое ограничение ресурса), определяя ведущую строку, показывающую, что из базисных переменных выводится Х₃, а вместо нее вводится Х₁. Пересчитываем элементы ведущей строки, разделив их на 5, а по формуле (6) определяем элементы второй и индексной строк. Целевая функция для 1-ого плана равна Z(X) = 6*4+3*0 = 24.

Однако, один из коэффициентов индексной строки для столбца Х₂ остается отрицательным -0,6, следовательно данный план не оптимален, и требуется еще одна итерация (шаг) для его улучшения. Выбираем ведущим 2-ой столбец и по минимальному значению Q_min = 5 определяем ведущую строку с базисной переменной Х₄. Выполнив те же преобразования, получаем 2-ой план, который будет оптимальным, так как все индексные коэффициенты положительны.

Проанализируем полученные результаты. При оптимальном решении целевая функция имеет максимальное значение 27тыс.руб., при этом оба ресурса выведены из базиса, следовательно израсходованы полностью.

Убедимся в этом: 5*2+2*5 = 20 тыс.руб., 6*2+12*5=72 кв.м. Искомое решение Х= (2; 5;0;0).Так бывает далеко не всегда.