Каноническая задача линейного программирования

, i=1,…,m,

, j=1,…,n.

Основные вычислительные методы решения задач линейного программирования разработаны именно для канонической задачи.

Общая задача линейного программирования

Необходимо максимизировать (минимизировать) линейную функцию от n переменных:

при ограничениях:

, i=1,…,k, , i=1+k,…,m, , …,

Стандартная задача получается как частный случай общей при k =m, r = n; каноническая – при k = 0, r = n.

Пример. Кондитерская фабрика производит несколько сортов конфет. Назовем их условно "A", "B" и "C". Известно, что реализация десяти килограмм конфет "А" дает прибыль 90 рублей, "В" - 100 рублей и "С" - 160 рублей. Конфеты можно производить в любых количествах (сбыт обеспечен), но запасы сырья ограничены. Необходимо определить, каких конфет и сколько десятков килограмм необходимо произвести, чтобы общая прибыль от реализации была максимальной. Нормы расхода сырья на производство 10 кг конфет каждого вида приведены в таблице 1.

Таблица 1. Нормы расходов сырья на производство

Сырье	Нормы расхода сырья			Запас сырья
	А	В	С
Какао	18	15	12	360
Сахар	6	4	8	192
Наполнитель	5	3	3	180
Прибыль	90	100	160	максимум
Объем выпуска	Х1	Х2	Х3

Экономико-математическая формулировка задачи имеет вид: Найти такие значения переменных Х = (х₁, х₂, х₃), чтобы целевая функция

при условиях-ограничениях:

Оптимизационная модель - экономико-математическая модель, которая охватывает некоторое число вариантов производства, распределения или потребления и предназначена для выбора таких значений переменных, характеризующих эти варианты, чтобы был найден лучший из них. Кроме системы ограничений включает критерий для выбора, особое уравнение, называемое целевой функцией. С помощью такого критерия находят решение, наилучшее по какому-либо показателю, напр. минимум затрат на материалы при заданном объеме продукции или, максимум прибыли при заданных ограничениях по ресурсам и т. д.

Оптимизационная модель является основным инструментом экономико-математических методов. Оптимизационные модели разного характера часто сводятся к задачам линейного программирования.

Среди линейных моделей математического программирования особое место занимают четыре типа моделей:

1) модель общей задачи линейного программирования;

2) модель транспортной задачи линейного программирования;

3) модель распределительной задачи линейного программирования;

4) модель ассортиментной задачи линейного программирования.

Модель общей задачи линейного программирования применяют для решения задач планирования в торговле, использования сырья, определения оптимального плана выпуска изделий и др.

В торговле планирование связано с поиском наиболее выгодного варианта распределения различного вида ресурсов: финансовых, трудовых, товарных, материальных, технических и др. Модель общей задачи линейного программирования применяют для решения широкого круга задач торговой практики, таких как планирование товарооборота; организация рациональных за­купок продуктов питания (задача о диете); замена торгового оборудования; определение ассортимента товаров для торговой базы в силу ограниченной площади хранения; установление рационального режима работы и т.д.

Методика построения экономико-математической модели заключается в том, чтобы экономическую сущность задачи представить математически. Необходимо определить систему переменных величин. Рассчитать нужные технико-экономические коэффициенты и собрать соответствующие нормативные данные. Все условия задачи записать в виде уравнений или неравенств. Обосновать критерии оптимальности и выразить его математической формулой.

Как правило, выделяется шесть этапов:

• постановка экономической проблемы (задачи), ее качественный анализ и обоснование критерия оптимальности;

• формализация экономической проблемы и ее математическая запись;

• подготовка исходной информации и технико-экономических коэффициентов;

• построение математической модели;

• создание расчетной компьютерной модели и ее решение;

• анализ результатов решения и их практическое применение.

В настоящее время множество задач планирования и управления в различных отраслях хозяйства решаются методами математического программирования (моделирования), наиболее развитым из которых в области оптимизационных задач является самый простой и доступный метод линейного программирования (МЛП). Этот метод позволяет описать широкий круг задач хозяйственной и коммерческой деятельности: планирование товароснабжения, распределение ресурсов, капиталовложений, организация рациональных перевозок товаров, распределение рабочей силы и специалистов и т.д.

Если задача МП содержит только линейные функции, то ее называют задачей линейного программирования.