2. Определение оптимальной температуры. Расчёт скорости химической реакции.

В отличие от изотермических реакторов, в которых температура остаётся неизменной в процессе реакции, и адиабатических реакторов, в которых изменение температуры в процессе реакции жёстко связано со степенью превращения и величиной теплового эффекта реакции, в политропических реакторах изменение температуры может происходить независимо от величины теплового эффекта реакции и степени превращения по любому закону. В связи с этим возникает проблема оптимизации аппаратов нашей установки по температуре, то есть проблема определения оптимального профиля (во времени или в пространстве) температуры, при которой скорость процесса в любой бы момент времени или в любом сечении аппарата была бы максимально возможной.

Рассмотрим механизм оптимизации обратимой реакции первого порядка, кинетика которой описывается уравнением:

Значение оптимальной температуры, заданной степени превращения, можно определить, взяв производную от скорости реакции по температуре и приравняв её к нулю:

Преобразуем уравнение так, чтобы экспоненциальный множитель находился только в одной части уравнения:

Последнюю запись уравнения прологарифмируем:

Из этого уравнения выразим значение оптимальной температуры:

По заданным начальным концентрациям и степени превращения определим концентрации веществ А и В:

По найденным значениям концентрации численно определим оптимальную температуру:

Следует иметь в виду, что на начальное значение температуры всегда накладываются ограничения, обусловленные экономическими или техническими соображениями. Определившись со значением оптимальной температуры, по формуле найдём значение максимальной скорости реакции, протекающей в аппаратах:

Подставив в последнюю формулу числовые значения параметров, получим:

В этом разделе нашли значение оптимальной температуры, необходимое для определения максимальной скорости. Полученное значение максимальной скорости в свою очередь позволяет определить экстремум целевой функции (минимальный объём аппаратов). Здесь сразу стоит заметить, что объём наших аппаратов, а, следовательно, и их габаритные размеры могут не совпадать.

3. Расчёт установки для получения продукции реакции.

Здесь будем исходить из того, что у нас есть формула для определения скорости химической реакции:

Теперь запишем ту же самую скорость, но уже через экспоненту:

(4)

Максимальная скорость у нас будет в том случае, когда температура будет оптимальной. Но с другой стороны в качестве критерия оптимизации нами взят минимальный объём. Данный нам каскад аппаратов идеального смешения представляет собой два последовательно соединённых проточных реакторов (секций) идеального смешения. Реакционная смесь последовательно проходит через все секции. Для каскада реакторов идеального смешения должны выполняться следующие допущения об идеальности:

• В каждой секции каскада выполняются условия реактора идеального смешения, то есть мгновенное изменение параметров процесса, равенство параметров во всех точках секции и в потоке, выходящем из неё;

• Отсутствие обратного влияния: каждый последующий реактор не влияет на предыдущий.

Математическая модель каскада реакторов идеального смешения, работающего в изотермическом режиме, представляет собой систему уравнений материального баланса по какому-либо участнику реакции, включающую, по меньшей мере, N уравнений по числу секций каскада. Для каждого аппарата можно записать уравнение материального баланса и из него выразить реакционный объём. Так для того, чтобы осуществить оптимизацию процесса, необходимо провести зависимость, позволяющую определить объём реакторов. Уравнения материального баланса для любой из секций каскада однотипны. Материальный баланс по компоненту А для первого аппарата в стационарном режиме работы каскада имеет вид:

В общем случае в этом уравнении перед последним его слагаемым ставится знак «плюс-минус», но здесь определённо мы ставим «минус», так как вещество А у нас не накапливается, а расходуется. При этом среднее время пребывания реакционной смеси в первом аппарате равно:

Подобное уравнение составляем и для второго аппарата каскада. Здесь уравнение материального баланса записывается в форме:

Среднее время пребывания реакционной смеси во втором аппарате равняется:

Расчёт каскада реакторов идеального смешения обычно сводится к двум задачам - прямой и обратной. В случае прямой задачи расчёт фактически представляет собой определение числа секций заданного объёма, необходимых для достижения определённой глубины превращения, или определение состава реакционной смеси на выходе из последнего аппарата каскада. Обратная задача предусматривает определение реакционных объёмов каждого аппарата при заведомом их числе. Именно эту задачу нам и предстоит решить. Различают аналитический и численный методы расчёта каскада. В численных методах заложена следующая основа, так как уравнения материального баланса для всех секций однотипны, то можно составить алгоритм решения этих уравнений для какой-то одной секции и последовательно применять его N раз.

Применение аналитического метода возможно в том случае, если уравнения материального баланса могут быть аналитически решены относительно концентрации. В нашем случае это оказывается возможным, потому что протекающая реакция описывается кинетическими уравнениями первого порядка.

Для первого реактора аппарата выразим реакционный объём из уравнения:

А при условии, что , получим:

Для второго реактора аппарата выразим реакционный объём из уравнения:

(5)

При условии, что , а , получим:

Для нахождения значений и необходимо использовать формулу (4) и подставить её в формулу (5), но такой подход потребует сложного дифференцирования. Здесь мы можем пойти проще вместо формулы (4) использовать зависимость или , которая справедлива для всех степеней превращения.

Более обще формулу для реакционных объёмов будут выглядеть следующим образом:

Чтобы определить степень превращения реакции в каждом аппарате, сперва запишем суммарный реакционный объём:

Для того, чтобы определить степени превращения реакции нам необходимо взять частную производную от выражения, записанного для суммарного объёма по и приравнять её к нулю:

Преобразовав уравнение, получим:

Выразив , получили:

Так как наш аппарат содержит в себе только два реактора, то нужна нам будет только . Чтобы определить реакционные объёмы наших аппаратов будем действовать согласно следующей схеме. Сперва, составим таблицу с расчётными данными. Зададимся несколькими степенями превращения и вычислим для них значения оптимальной температуры и скоростей прямой и обратной реакции. Получившиеся расчётные данные и составят основу нашей таблицы.

Примем , тогда

Так же посчитали и заполнили все графы таблицы 3.

Таблица 3. Расчётные данные

	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
	0,7	0,56	0,42	0,28	0,14
	0,7	0,84	0,98	1,12	1,26
	466	442	418	393	360
	2,265	0,553	0,149	0,0153	0,000706
	-0,301	-0,222	-0,155	0,0969	-00458
	0,355	-0,257	-0,827	-1,815	-3,151

Для расчётов нам так же потребуется определить:

Следующим этапом рассчитал коэффициенты А и р. Для этого прологарифмируем выражение :

Математически преобразуем выражение:

Здесь мы имеем линейное уравнение с двумя неизвестными а и b.

В данном случае для решения прибегнем к методу наименьших квадратов:

Подставим найденные значения в уравнение (6), тогда мы получим:

Рассчитав степень превращения в первом реакторе аппарата, найдём численные значения реакционных объёмов:

Полученное значение суммарного реакционного объёма аппарата как раз и будет экстремумом (точкой минимума) целевой функции.