Лабораторная работа № 1-07

Определение момента инерции тела с помощью наклонной плоскости.

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: усвоение понятия момента инерции тела и определение момента инерции тел из закона сохранения энергии.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

При описании многих физических явлений в механике используют модели материальной точки и абсолютно твердого тела.

Твердое тело рассматриваем как недеформируемое или абсолютно твердое. Существенную роль при его движении играют размеры и форма тела. Но всегда можно мысленно разделить тело на отдельные столь малые элементы, чтобы размеры и форма каждого элемента не играли роли в их движении. Каждый такой элемент тела можем рассматривать как материальную точку. Сведем таким образом задачу о движении твердого тела к задаче о движении большого числа отдельных материальных точек. Так как тело абсолютно твердое, то расстояния между материальными точками надо считать неизменными.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси определяется не только величиной и

направлением силы F , но и расстоянием ее до оси вращения, поэтому в динамике враща-

тельного движения твердых тел вводятся новые понятия: момент импульса L , момент си-

лы M и момент инерции тела относительно оси J. Напомним, что аналогичные величины в

динамике поступательного движения называются импульсом P = mυ, силой F и массой m.

Так что основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид

dL

= M (1) dt

Его еще называют уравнением моментов. Найдем другое выражение для уравнения (1). При движении твердого тела вокруг неподвижной оси все материальные точки его вращают-

ся с одинаковой угловой скоростью ω. При этом если r_i - расстояние i-ой материальной точки от оси вращения (рис. 1), m_i - ее масса, то υ_i = ωr_i - линейная скорость этой точки, а L_i = m_iυ_ir_i = m_i r_i²ω- величина момента импульса точки относительно оси вращения.

Рис.1

Тогда для всего твердого тела момент импульса относительно оси будет равен

L = ∑L_i = ∑(m_i ⋅r_i² )ω (2)

i i

Обозначим величину, стоящую в круглых скобках, через I -момент инерции тела

J = ∑m_i r_i² (3)

i

Видно, что величина I зависит от распределения массы твердого тела относительно оси и является величиной аддитивной. Поэтому вычисление момента инерции твердых тел сводится к вычислению интеграла

J = ∫ r² ⋅dm = ∫ρ⋅r² ⋅dV , (4)

где dm и dV - масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии r от оси; ρ -

плотность тела в данной точке.

В некоторых случаях нахождение момента инерции упрощается, если воспользоваться теоремой Штейнера: момент инерции J тела относительно произвольной оси равен моменту инерции J₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр массы тела, плюс произведение массы тела m на квадрат расстояния а между осями

J = J₀ + ma² (5)

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси можно записать теперь в другом виде, если продифференцировать (2) по времени.

dω

J ⋅ = M (6) dt

Из уравнения (6) видно, что величина I определяет инерционные свойства твердого тела: при одном и том же значении момента сил М тело с большим моментом инерции при-

обретает меньшее угловое ускорение ε . Отметим, что L, M ,ε,ω являются аксиальными векторами. Они не имеют определенной точки приложения и направлены по оси вращения.

Для анализа вращательного движения твердого тела можно использовать не только уравнение движения (6) , но и закон сохранения энергии. Рассмотрим, как можно найти характеристики движения тела из закона сохранения энергии, если оно скатывается с наклонной плоскости.

Рис. 1

Пусть тело массой m , скатывается с наклонной плоскости и проходит расстояние S между точками А и В. При этом оно теряет потенциальную энергию,

∆E_n = mg∆h = mgS ⋅sinα, (7)

которая переходит в кинетическую энергию поступательного и вращательного движения и тратится на работу по преодолению сил трения. В соответствии с законом сохранения энергии

∆E_n = ∆E_k(пост) + ∆E_k(вращ) + A_тр (8)

где:

mυ2

∆Ek(пост),

ω

∆Ek(вращ) = J , 2

Aтр = Fтр ⋅ S

При этом F_тр = kmg cosα и k - коэффициент трения тела о наклонную плоскость, υи ω - линейная и угловая скорости тела в точке В.

Подставив все эти определения в (3) , получим уравнение

mgS kmgS ⋅cosα (9)

На участке АВ тело движется равноускоренно с нулевой начальной скоростью. Поэтому

t² ωt 2S S = a , υ = at, S = и υ = ,

2 2 t

где t - время движения тела на участке АВ .

При скатывании тела без скольжения угловая скорость тела в точке В

υ 2S

ω= = ,

R R⋅t

где R - радиус скатывающегося тела.

Если выражения для υ и ω подставить в (5), и решить это уравнение относительно момента инерции, то получим искомое соотношение

² gt² gt²

J = mR ( ⋅sinα− k ⋅cosα−1) (10)

2S 2S

пренебрегая силой трения получим:

2 gt ²

J = mR ( ⋅ sin α − 1) (11)

2 S

В то же время из (2) можно рассчитать моменты инерции

шара - J_ш = ² mR² ; цилиндра - J_ц = mR² ; (12)

пустотелого цилиндра - J_ц.п. = m(R² + r² ) . Соотношения (11) и (12) позволяют сравнить полученные на опыте моменты инерции тел с теоретическими.

3. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ:

Приборы и оборудование: наклонная плоскость, электрический секундомер, 1-3 цилиндра разного диаметра.

Эксперимент проводят на установке, изображённой на рисунке. Начальное положение тела на наклонной плоскости в точке А фиксируется откидной скобой 1. Время движения тела на участке АВ измеряется электрическим секундомером, который подключается к розетке. При нажатии пусковой кнопки 3 скоба 1 приподнимается, освобождая тело , включается секундомер, и тело начинает скатываться. В конечной точке В при ударе тела о пластину секундомер автоматически выключается. Для повторения опыта надо положить тело в исходное положение и вновь нажать пусковую кнопку.

В работе определяется момент инерции тела вращения относительно оси , проходящей через его центр масс, по времени скатывания тела без скольжения по наклонной плоскости.

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Подключите секундомер к розетке 2 на макете, шнур питания макета - к розетке сети

220 В.

2. Исследуемое тело установите в исходное положение и линейкой измерьте длину пути тела S по наклонной плоскости.

3. Произведите пуск тела нажатием кнопки и запишите время движения тела по автоматическому секундомеру. Установите стрелки секундомера на нуль. Повторите этот пункт

8-10 раз.

4. Взвесьте исследуемое тело .

5. Измерьте штангенциркулем диаметр тела 10 раз.

6. Проделайте действия указанные в пунктах 1-5 с другими телами.

V. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ.

1. Занести результаты измерения в таблицу.

2. Подсчитать t_ср для каждой серии эксперимента.

3. По формуле (11) вычислите экспериментальное значение момента инерции тела. Величина угла α написана на макете.

4. Вычислите по формуле (12) теоретический момент инерции тела и результаты запишите в таблицу. Сравните его с экспериментальным значением и укажите причину возможного несоответствия.

5. Вычислите относительную и абсолютную погрешности моментов инерции I_экс и I_теор. 6. Результаты вычисления I_экс и I_теор . Представьте в виде

J_экс. = J ± ∆J J_теор. = J ± ∆J

ЛИТЕРАТУРА

1. Савельев И.В. Курс общей физики , т. 1.– М.: Наука, 2007.

2. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. т. 1, .– М.: Дрофа, 2003.

3. Трофимова Т.И. Курс физики,М., Наука, 1990.

Таблица

№ п.п	S, cм	t, c	tср , c	m ,г	d, мм	Jтеор	J эксп

Место для вычислений.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.В каких единицах измеряется момент инерции?

2. Какой из коэффициентов трения больше по величине - коэффициент трения качения или коэффициент трения скольжения?

3. Можно ли пренебречь 2-м слагаемым в уравнении (10)?

4. Может ли быть величина в скобках в уравнении (10) порядка 0.01?

5. Какова размерность коэффициента трения качения?

6. Приведите пример движения тела, при котором его момент инерции будет меняться в зависимости от времени.

Ответы на контрольные вопросы.