Лабораторная работа n 1-06

Проверка законов вращательного движения

твердого тела с помощью маятника Обербека

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: проверка законов механики вращательного движения твердого тела и определение момента инерции.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Твердое тело рассматриваем как недеформируемое или абсолютно твердое. Существенную роль при его движении играют размеры и форма тела. Но всегда можно мысленно разделить тело на отдельные столь малые элементы, чтобы размеры и форма каждого элемента не играли роли в их движении. Каждый такой элемент тела можем рассматривать как материальную точку. Сведем таким образом задачу о движении твердого тела к задаче о движении большого числа отдельных материальных точек. Так как тело абсолютно твердое, то расстояния между материальными точками надо считать неизменными.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси определяется не только величиной и

направлением силы F , но и расстоянием ее до оси вращения. В динамике вращательного

движения твердых тел поэтому вводятся новые понятия: момент импульса - L, момент силы

- M и момент инерции I тела относительно оси. Напомним, что аналогичные величины в

динамике поступательного движения называются импульсом P = mυ, силой F и массой m.

Так что основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид

dL

= M (1) dt

Его еще называют уравнением моментов. Найдем другое выражение для уравнения (1). При движении твердого тела вокруг неподвижной оси все материальные точки его вращают-

ся с одинаковой угловой скоростью ω. При этом если r_i - расстояние i-ой материальной точки от оси вращения (рис. 1), m_i - ее масса, то υ_i = ωr_i - линейная скорость этой точки, а L_i = m_iυ_ir_i = m_i r_i²ω- величина момента импульса точки относительно оси вращения.

Рис.1

Тогда для всего твердого тела момент импульса относительно оси будет равен

L = ∑L_i = ∑(m_i ⋅r_i² )ω (2)

i i

Обозначим величину, стоящую в круглых скобках, через J -момент инерции тела

J = ∑m_i r_i² (3)

i

Видно, что величина J зависит от распределения массы твердого тела относительно оси и является величиной аддитивной. Поэтому вычислением момента инерции твердых тел сводится к вычислению интеграла

J = ∫r² ⋅dm = ∫ρ⋅r² ⋅dV (4)

где dm и dV - масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии r от оси; ρ -

плотность тела в данной точке.

В некоторых случаях нахождение момента инерции упрощается, если воспользоваться теоремой Штейнера: момент инерции J тела относительно произвольной оси равен моменту инерции I₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр массы тела, плюс произведение массы тела m на квадрат расстояния а между осями

J = J₀ + ma² (5)

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси можно записать теперь в другом виде, если продифференцировать (2) по времени.

dω

J ⋅ = M (6) dt

dω

= ε - угловое ускорение.

dt

Из уравнения (6) видно, что величина J определяет инерционные свойства твердого тела: при одном и том же значении момента сил М тело с большим моментом инерции приобрета-

ет меньшее угловое ускорение ε . Отметим, что L , M , ε, ω являются аксиальными векторами. Они не имеют определенной точки приложения и направлены по оси вращения.

III. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Приборы и оборудование: маятник Обербека, лабораторная установка FPM-06.

Д ля экспериментального изучения законов вращательного движения твердого тела используется крестообразный маятник Обербека (рис.2).

Маятник представляет собой инерционное колесо в виде крестовины. На четырех взаимно перпендикулярных стержнях располагаются грузы, которые могут перемещаться. На горизонтальной оси крестовины имеется двухступенчатый диск, на который наматывается нить. Один конец нити прикреплен к диску, а на втором конце нити подвешен груз. Под влиянием падающего груза, нить разматывается с диска и вызывает вращательное равноускоренное движение крестовины.

На вертикальной колонне 1 , установленной на основании 2 прикреплены два кронштейна: нижний неподвижный 3 и верхний подвижный 4 и две неподвижные

Рис. 2 втулки: нижняя 5 и верхняя 6. Основание снабжено регу-

лирующими винтами 7, обеспечивающими горизонтальную установку прибора. На верхней втулке 6, в подшипнике закреплен диск 10. Через диск перекинута нить 11. Один конец нити прикреплен к двухступенчатому диску 12, а на втором конце закреплены грузы 13. На противоположной от крестовины стороне прикреплен тормозной электромагнит 15, который после подключения к нему напряжения, удерживает крестовину вместе с грузами в состоянии покоя с помощью фрикционной муфты. Подвижный кронштейн 4 можно перемещать вдоль колонны и фиксировать его в любом положении, определяя таким образом длину пути падения грузов, величина которого определяется по миллиметровой шкале 16. На нем закреплен первый фотоэлектрический датчик 17. На неподвижном кронштейне 3 закреплен второй фотоэлектрический датчик 18, вырабатывающий электроимпульс конца измерения времени и включающий тормоз.

На основании прибора укреплен миллисекундомер, к гнездам которого подключены соответственно 1-й и 2-й фотоэлектрические датчики.

Работа прибора осуществляется следующим образом. Груз, подвешенный на нити, создает вращающий момент

M = F ⋅r ,

где: F = m(g −a) r - радиус диска, m - масса груза, подвешенного на нити. Под

действием этого момента маятник начнет вращаться согласно уравнения (6). Угловое ускорение маятника ε и линейное ускорение a движения груза связаны соотношением

a

ε = r

Зная пройденный грузом путь h и время движения t , ускорение можно определить по формуле

2h

a = (7)

2 t

С учетом вышеизложенного уравнение M = Jε примет вид

2h 2h

m(g ⁻ ₂ )r = J ₂ t rt

откуда

9. = ^{m( gt2}2⁻h^2h)r2 = mr²^{ gt2} −1^ (8)

 2h 

Теоретически момент инерции можно определить по формуле, полученной из теоремы Штейнера:

9. = J₀ +4m₀R² (9)

где I₀ - момент инерции маятника без подвижных грузов; m₀ - масса подвижного

груза; R -расстояние от оси до центра подвижного груза.

4. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Установить четыре подвижных груза на одинаковом расстоянии R от оси и проверить правильность установки грузов. При правильной установке маятник находится в состоянии равновесия при любом положении крестовины.

2. Измерить штангенциркулем диаметры шкивов, на которые наматывается нить.

3. Установить подвижный кронштейн на расстоянии 35-45 см от нижней платформы.

4. Включить прибор в сеть и нажать кнопку "Сеть". При этом загорится табло миллисекундомера.

5. Нажать кнопки" Пуск" и "Сброс" для освобождения блокировки. Намотать на меньший шкив нить, установить груз в верхнее положение и отжать кнопку "Пуск". При этом срабатывает блокировка и система фиксируется в этом положении.

6. Нажать кнопку "Пуск", при этом груз придет в движение и секундомер начнет отсчет времени. Как только груз пройдет через нижний кронштейн фотодатчика секундомер остановит отсчет. (В этот момент сработает блокировка прибора). Записать показания секундомера.

7. Нажать кнопку "Сброс" при этом произойдет обнуление секундомера и освободится блокировка.

8. Повторить операции, указанные в пунктах 5 - 7 не менее 5 раз.

9. Повторить эксперимент в соответствии с пунктами 5 - 7, наматывая нить на большой шкив.

10.Изменить положение подвижных грузов и повторить измерения в соответствии с пунктами 5 - 9 для малого и большого шкивов.

11.По окончанию измерений оставить груз в нижнем положении, отжать кнопку "Сеть" и отключить прибор от сети.

4. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1. Занести результаты измерений в таблицу.

2. Подсчитать значения t_ср для каждой серии экспериментов.

3. По формуле (8) вычислить момент инерции маятника Обербека для первого J₁ и второго J₂ положения грузов, подставляя значения t_ср .

4. Из формулы (9) найти и вычислить величину J_0. Значение m , m₀ указаны на грузах.

5. Вычислить относительную и абсолютную погрешности моментов инерции J и J₀ .

6. Результаты вычисления J и J₀ представить в виде

J = J_ср ±∆ J

J0 = J0ср ±∆ J0

VI. ЛИТЕРАТУРА

1. Савельев И.В. Курс общей физики , т. 1.– М.: Наука, 2007.

2. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. т. 1, .– М.: Дрофа, 2003.

3. Трофимова Т.И. Курс физики,М., Наука, 1990.

Таблица

N п/п	h , см	r, см	R, см	t, с	t ср, c	J г см2	J0 г см2

Место для вычислений.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какое движение называется вращательным?

2. Как связаны линейное и угловое ускорения?

3. Приведите определения момента силы на конкретном примере и укажите его направление.

4. Дайте определение момента инерции материальной точки и твердого тела относительно неподвижной оси.

5. Как направлен вектор углового ускорения?

6. Сформулируйте основное уравнение динамики вращательного движения тела.

7. Сформулируйте теорему Штейнера.

Ответы на контрольные вопросы.