15 . Функциональные соответствия. Числовые функции, способы их задания. График функции. Примеры числовых функций из начального курса математики.

Функциональным соответствием между множествами X и Y называют такое соответствие, при котором каждому элементу из множества X сопоставляется не более одного элемента из множества Y.

Примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.

Примером функциональных соответствий могут служить соответствия, графы которых изображены на рисунке.

Частным случаем функционального соответствия между множествами X и Y являетсясоответствие, при котором каждому элементу из множества X сопоставляется точно один элемент из множества Y. Такое соответствие называется отображением множества X во множество Y.

Функция - одно из важнейших понятий математики, исходное понятие ведущей ее области - математического анализа. В школьном курсе математики основное внимание уделяется числовым функциям.

Числовой функцией называют такое соответствие между числовым множеством X и множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества Xсопоставляется единственное число из множества R.

Множество X называют областью определения функции.

Функции принято обозначать буквами f,g,h и др. Если f- функция, заданная на множествеX, то действительное число y, соответствующее числу x из множества X, часто обозначаютf(x) и пишут y=f(x).Переменную x при этом называют аргументом(или независимой переменной) функции f. Множество чисел вида f(x) для всех x из множества X называютобластью значений функции f.

Для задания функции необходимо указать, во-первых, числовое множество X, т.е. область определения функции, и, во-вторых, правило, по которому каждому числу из множества Xсоответствует единственное действительное число.

Часто функции задают с помощью формул, указывающих, как по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции.(y=2x-3, y=x₂, y=3x, где x- действительное число, задают функции, поскольку каждому действительному значению xможно, производя указанные в формуле действия, поставить в соответствие единственное значение y). С помощью одной и той же формулы можно задать как угодно много функций, которые будут отличаться друг от друга областью определения.

Числовые функции можно представлять наглядно на координатной плоскости. Пусть y=f(x)– функция с областью определения X. Тогда ее графиком является множество таких точек координатной плоскости, которые имеют абсциссу x и ординату f(x) для всех x из множества X.

Так, графиком функции y=2x-3, заданной на множестве R, является прямая (рис. 9.1), а графиком функции y=x₂, заданной также на множестве R,- парабола (рис. 9.2).

Функции можно задавать с помощью графика. (рис. 9.3 а, б) задают функции, одна из которых имеет в качестве области определения промежуток [-2, 3], а вторая – конечное множество {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.

В начальном курсе математики понятие функции и все, что с ним связано, в явном виде не изучается, но идея функциональной зависимости буквально пронизывает его, а правильное понимание таких свойств реальных явлений, как взаимозависимость и изменяемость, является основой научного мировоззрения.