14 .Понятие соответствия между множествами.

Соответствием между элементами множества Х и элементами множества Y называется любое подмножество декартова произведения этих множеств. Взаимно однозначным соответствием между множествами X и Y называется такое соответствие, при котором каждому элементу множества X сопоставляется единственный элемент множества Y и каждый элемент множества Y соответствует только одному элементу множества X.

Если множества конечны, то отношение взаимно-однозначно только, если они содержат одинаковое количество элементов.

Если между множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие, то такие множества называются равномощными.

Соответствие можно задавать как любое множество. либо перечислив все пары элементов, находящихся в данном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества. Например, соответствие между множествами Х = {2, 4, 6, 8} и Y = {3, 5, 7} можно задать:

1)При помощи предложения с двумя переменными: а< bпри условии, что а∈ Х, b∈Y;

2) перечислив пары чисел, принадлежащих подмножеству декартова произведения Х хY: { (2,3), (2,5), (2,7), (4,5), (4,7), (6,7)}. К этому способу задания относят также задание соответствия при помощи графа (рис. 1).

Примеры соответствий.

Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством X и множеством R действующих чисел, при котором каждому числу их множества X сопоставляется единственное из множества R. (Множество X называют областью определения функции. Множество R – это множество действительных чисел.)

Способы задания функций. 1. при помощи уравнения-формулы 2. при помощи таблицы 3. с помощью графика

Взаимно-однозначные соответствия.

Взаимно-однозначные соответствия- это такое соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу первого множества соответствует один определенный элемент второго множества, а каждому элементу второго множества - один определенный элемент первого множества.

1. Если каждому элементу множества А можно поставить в соответствие один и только один элемент множества В и, наоборот, каждому элементу множества В можно поставить в соответствие один и только один элемент множества А, то такое соответствие между множествами А и В называется взаимно однозначным.

2. Если между множествами А и В можно установить взаимно однозначное соответствие, то такие множества называются эквивалентными (равномощными).

3. Установление взаимно однозначного соответствия дает возможность сравнивать множества с бесконечным числом элементов. Например, между множеством   натуральных чисел и множеством всех четных натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие:

Таким образом, эти два множества эквивалентны.

Равномощные множества.

Если между элементами двух множеств можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что эти множества равномощны (или, иначе, эквивалентны). Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же число элементов. Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же число элементов. Понятие равномощности применимо и к множествам, не являющимся конечными; например, как мы видели, множество всех нечетных положительных чисел равномощно множеству всех четных чисел, больших ста.

множество всех натуральных чисел равномощно множеству всех четных положительных чисел. Взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств можно, например, установить, сопоставив каждому натуральному числу вдвое большее положительное число. Мы имеем здесь, следовательно, пример бесконечного множества, равномощного некоторой своей правильной части. Не существует ни одного конечного множества, равномощного какой-либо своей правильной части. Возникает вопрос, каждое ли бесконечное множество равномощно какой-либо своей правильной части. На этот вопрос мы не сможем ответить, не принимая специальных аксиом. Однако о многих бесконечных множествах, встречающихся в математике, можно доказать, что они равномощны некоторой своей правильной части.

Чтобы выразить, что два множества М и   равномощны, пишут   Как легко заметить, отношение — является симметричным (т. е. из   следует  ) транзитивным (т. е. из   следует  ) и рефлексивным (т. е.   для любого множества М).

Чтобы выразить 2 множества М и N равномощны, пишут М Отношения является симметричным, ( из следует N ), транзитивным (т.е. из

И N следует M ) и рефлексивным ( т.е. M для любого множества М.)