25. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме. Определение напряженности поля точечного заряда с помощью теоремы Гаусса.

Поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произ­вольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ε₀. Согласно закону Кулона, напряженность электрического поля в точке на поверхности сферы равна Е = (1/4πε₀)(Q/r)

Тогда теорема гаусса для частного случая точечного заряда в центре сферической поверхности:

26. Теорема Гаусса для электростатического поля. Расчет напряженности поля равномерно заряженной сферы радиуса r с известной поверхностной плотностью заряда

Найдем поток вектора Е сквозь сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q.

В этом случае dФ_E=EdS, т.к. направления Е и n во всех точках сферической поверхности совпадают. С учетом напряженности поля точечного заряда E=  и того, что площадь поверхности сферы   получим

 - алгебраическая величина, зависящая от знака заряда. Например, при q<0 линии Е направлены к заряду и противоположны направлению внешней нормали n. Поэтому в таком случае поток отрицателен 

П усть замкнутая поверхность S1 вокруг заряда q имеет произвольную форму. Очевидно, что поверхность S1 пересекается тем же числом линий Е, что и поверхность S. Следовательно, поток вектора Е сквозь произвольную поверхность S1 также определяется полученной формулой  .

Если заряд будет находиться вне замкнутой поверхности, то, очевидно, сколько линий войдет в замкнутую область, столько же из нее и выйдет. В результате поток вектора Е будет равен нулю.

Поле равномерно заряженной сферической поверхности. Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью +σ. Т.к. заряд распределен равномерно поверхности то поле, которое создаётся им, обладает сферической симметрией. Значит линии напряженности направлены радиально. Проведем мысленно сферу радиуса r, которая имеет общий центр с заряженной сферой. Если r>R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, который создает рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса, 4πr²E = Q/ε₀ , откуда E=   . При r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда.

27. Теорема Гаусса для электростатического поля. Расчет поля бесконечного прямолинейного провода, заряженного с линейной плотностью заряда .

Т еорема Гаусса см. вопрос 26!

Бесконечная равномерно заряженная нить

Пусть τ — линейная плотность заряда нити. Выделим участок нити длиной Δl и окружим его цилиндрической поверхностью, расположенной так, что ось цилиндра совпадает с нитью.

Линии напряженности электростатического поля, создаваемого нитью в сечении, перпендикулярном самой нити, направлены перпендикулярно боковой поверхности цилиндра, поэтому поток напряженности сквозь боковую поверхность N=E⋅2πRΔl N=E⋅2πRΔl, где R — радиус цилиндра. Через оба основания цилиндра поток напряженности равен нулю (α = 90°, cos α = 0). Тогда полный поток напряженности через выделенный цилиндр

 N=E⋅2πRΔl. N=E⋅2πRΔl.

Заряд, находящийся внутри этого цилиндра, q = τ · Δl. Согласно теореме Остроградского—Гаусса, можно записать E⋅2πRΔl=τΔlε0ε E⋅2πRΔl=τΔlε0ε . Следовательно, модуль напряженности поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечно длинной нитью на расстоянии R от нее, E=τ2πε0εR.