2. Анализ дискретных стационарных систем

Для дискретных систем роль дифференциальных уравнений в переменных состояния играют разностные уравнения

, . (8)

Решение уравнений (8) может быть получено следующим образом. Придавая индексу значения , , , , , запишем:

;

=

= =

;

=

.

В общем случае, при произвольном , имеем

. (9)

Это общее решение первого уравнения (8).

Первое слагаемое (9) зависит только от начальных условий и определяет реакцию системы, не зависящую от входного (управляющего) воздействия . Это слагаемое называется свободной составляющей

. (10)

Второе слагаемое (9) зависит только от значений , , ..., и называется вынужденной составляющей

. (11)

Замечание. Матрица называется переходной матрицей состояния дискретной системы или фундаментальной матрицей.

Пример 5 [5, с.201]. Определить взвешенную временную последовательность .

По определению - реакция системы при нулевых начальных условиях и входе в виде дельта последовательности

.

называется дельта-последовательностью Кронеккера.

Решение.

В данном случае из выражения (8) при , , , имеем

, ;

, ;

, .

При произвольном получим

, .

Итак, искомая взвешенная временная последовательность определяется формулой

. (12)

Пример 6 [3, c.202]. Задана математическая модель дискретной системы

;

.

Определить реакцию системы на входное воздействие в виде дельта-последовательности Кронеккера, то есть взвешенную временную последовательность .

Воспользуемся выражением (12), в котором полагаем

, , .

Тогда (12):

, .

Для вычисления

применим формулу Сильвестра (Лагранжа-Сильвестра). Собственные значения матрицы определяются характеристическим уравнением

, откуда , .

Получаем

;

.

Подставляя в формулу (12) , найдем

=

Пример 7. Математическая модель линейной стационарной динамической системы в непрерывном случае имеет вид

(13)

Записать дискретный вид математической модели системы для с и построить графики изменения , , , на интервале времени . Начальные условия , ; входное воздействие: - для дискретной модели; - для непрерывной модели.

Решение

Дискретная модель системы получена в примере 4 и имеет вид

. (14)

Решение уравнений (13) можно получить по формуле Коши

. (15)

Подставляя в (15) , , , , , получаем значения , , которые сводим в табл. 1.

Таблица 1

	0	1	2	3	4	5
	1	0.8002	0.6262	0.5485	0.5181	0.5067
	0	-0.2325	-0.1170	-0.04731	-0.018	-0.00669
	6	7	8	9	10
	0.5025	0.5010	0.5003	0.5001	0.5
	-0.0025	-0.0009	-0.000335	-0.12310-3	-0.4510-3

Для построения дискретного процесса полагаем в (14) , , , , . Получаем значения , , которые сводим в табл. 2.

Таблица 2

	0	1	2	3	4	5
	1	0.8	0.6257	0.5481	0.5179	0.507
	0	-0.233	-0.1172	-0.0472	-0.0178	-0.007
	6	7	8	9	10
	0.502	0.5009	0.5003	0.5001	0.5
	-0.002	-0.8810-3	-0.3210-3	-0.0001	-0.0004

Примечание. Полученные расхождения между , и , в точках , , , , оси времени объясняются погрешностями вычисления , и , .

Строим графики:

Пример 8. Ссуда под недвижимость в сумме 50 тысяч долларов должна быть возвращена через 30 лет равными ежемесячными взносами размером p долларов. Выплачиваемый процент установлен 15% в год от невозвращенной (оставшейся) суммы.

Определим модель процесса.

Пусть x[kT] –неоплаченная часть ссуды, оставшейся после выплаты k-го ежемесячного взноса. Тогда

(16)

где - ежемесячная норма процента. Таким образом, модель – разностное уравнение первого порядка.

Зная модель, можно исследовать процесс. Например, поставить следующие задачи:

• определить Р (сколько нужно выплачивать ежемесячно);

• определить общую сумму выплат за 30 лет.

Решим эти задачи.

Полагаем в (3)

Тогда (9) принимает вид

. (17)

Откуда

. (18)

(19)

Воспользуемся формулой для частичной суммы геометрической прогрессии

(20)

Полагаем в (20) и m=k-1, получим из (19)

(21)

Подставим (21) в (18)

(22)

Окончательно сумма взноса P, которую требуется выплачивать ежемесячно в течение 30 лет (360 месяцев)

. (23)

При r=0,0125 (15% в год) и x[0]=50000, находим P=632,22 доллара.

Полная сумма возврата в банк за ссуду в 50000 долларов составляет 360 p=227599,2 доллара, которая убедительно иллюстрирует, почему банки охотно дают займы.