Основы аналитического анализа линейных многомерных дискретных систем
Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математические основы общей теории систем и конечных автоматов» для студентов направления подготовки 27.03.04 «Управление в технических системах»
Введение
В современных управляемых системах широко используют элементы и системы, входные и выходные сигналы которых имеют дискретный характер. Среди таких элементов прежде всего следует упомянуть управляющие ЦВМ и микроконтроллеры, обмен информацией между которыми и остальными частями системы может происходить лишь в дискретные, то есть отличающиеся на конечную величину, моменты времени. Системы, содержащие такие элементы, называют дискретными или непрерывно-дискретными системами.
Дискретные системы, как и непрерывные системы, имеют несколько форм математического описания во временной области в виде:
разностных уравнений вход-выход, являющихся аналогом описания непрерывных дифференциальных уравнений;
взвешенной временной последовательности, являющейся аналогом описания непрерывных систем при помощи импульсной переходной функции;
разностных уравнений в переменных состояния, являющихся аналогом дифференциальных уравнений в переменных состояния для непрерывных систем.
В настоящих методических указаниях два раздела: построение дискретных моделей линейных систем и анализ дискретных систем на основе этих моделей.
Задачи, рассмотренные в методических указаниях, соответствуют рекомендациям программы изучения дисциплины, призваны способствовать лучшему усвоению теоретического материала, изучаемого в соответствующем разделе.
Вначале рассматриваются решенные задачи, а затем приводятся задачи для самостоятельной работы.
Дискретные модели линейных стационарных систем
Дискретной моделью уравнений
,
(1)
(2)
называется [1, 2, 3, 4, 5] система разностных уравнений
, (3)
, (4)
реакция которых
совпадает в точках
с решениями системы (1), (2),
.
-
-мерный
вектор состояний,
-
-мерный
вектор выходных переменных,
-
-мерный
вектор входных переменных (управлений);
,
,
,
,
,
- матрицы чисел соответствующих размеров.
Матрицы
и
связаны с матрицами
и
следующими соотношениями
,
(5)
.
(6)
В случае, если
- неособенная матрица (
),
то
можно определить следующим образом
.
(7)
Пример 1. Рассмотрим упрощенную модель задачи управления самолетом по углу курса в горизонтальном полете. Предположим, что порывы ветра разворачивают самолет относительно требуемого направления и нужно корректировать ошибки курса с помощью отклонений руля. Будем рассматривать только плоское движение, считая самолет твердым телом в виде отрезка прямой и полагая угловые отклонения малыми.
1 - осевая линия самолета,
2 - расчетное направление полета,
3 - ось курса,
4 - руль.
- ошибка курса;
- отклонение руля;
- момент инерции самолета относительно
оси, перпендикулярной плоскости чертежа
(то есть при его вращении по
)..
Восстанавливающий момент считаем
пропорциональным отклонению руля
(вязким сопротивлением вращению со
стороны воздуха и связью между углами
курса и крена пренебрегаем).
Решение.
В силу второго закона Ньютона
,
где
- коэффициент пропорциональности между
отклонением руля и восстанавливающим
моментом (
);
- момент, вызываемый порывом ветра
(возмущающий момент).
Разделим на и введем обозначения
,
,
,
тогда
.
Полученное дифференциальное уравнение
имеет второй порядок. Поэтому для его
решения кроме знания
,
,
требуется задать два начальных условия:
- начальная ошибка по углу курса;
- начальная ошибка по скорости изменения
угла курса.
Вводя переменные
,
,
получим
,
или
.
- вектор состояния, состоящий из двух
физических величин: ошибки по углу курса
и ошибки по скорости изменения угла
курса.
Уравнения можно записать в виде (1)
,
где
,
,
.
Приведем данные уравнения к дискретному виду.
.
Так
как
,
,
..., то
.
Следовательно,
.
Аналогично
,
или
.
Матрица
определяется аналогично
(
- матрица при возмущениях в дискретной
модели).
.
Таким образом, система описывается следующей дискретной моделью:
или
.
Пример 2. Математическая модель линейной стационарной динамической системы в непрерывном случае имеет вид
.
Записать дискретную модель системы.
Решение.
,
.
Так как
,
,
то
.
Поэтому
,
.
Дискретная модель принимает вид
или
.
Пример 3 [2, с.246]. Математическая модель линейной стационарной системы в непрерывном случае имеет вид
.
Записать дискретный вид математической модели.
Решение.
Легко показать, что
.
Тогда
,
.
Поэтому дискретная модель имеет вид:
.
Пример 4 [4, с.127]. Математическая модель линейной стационарной системы в непрерывном случае имеет вид
;
,
где
,
- переменные состояния;
,
- скалярные выходная и входная переменные
соответственно. Записать дискретный
вид математической модели системы для
с.
Решение.
Можно показать, что
.
В силу этого
,
.
Следовательно, дискретная математическая модель имеет вид
.
Положим период дискретности с, тогда
,
или
.