Задача 3

На отчетную дату имеются данные по микрорайону города (данные условные).

Номер дома	Число этажей в доме	Общая площадь дома, м2	Процент жилой площади в доме	Процент жилой площади, требующей ремонта	Среднее число жителей на одном этаже, чел.
1	2	1500	70	50	40
2	3	3000	80	30	65
3	4	8000	90	20	50

Определите средние значения по каждому признаку. Постройте исходные соотношение (логические основы) каждой средней величины. Напишите формулы расчета, введя условные буквенные обозначения компонентов средней.

Укажите виды использованных средних величин. Сделайте выводы.

Решение:

• Среднее число этажей в доме обозначим и определим по формуле средней арифметической простой:

Исходное соотношение:

ИСС =

где x- отдельные значения варьирующего признака;

n – число единиц совокупности.

• Средняя общая площадь одного дома вычислим по формуле:

,

Исходное соотношение:

ИСС =

м²

• Удельный вес жилой площади в % найдем по формуле относительной величины структуры:

Исходное соотношение:

ИС =

1. 1500*0,7= 1050 (м²)

2. 3000*0,8=2400 (м²)

3. 8000*0,9=7200 (м²)

• Средний процент жилой площади, требующей ремонта обозначим и определим по формуле средней арифметической взвешенной:

Исходное соотношение:

ИСС =

=32%

х – это процент жилой площади, требующей ремонта;

f – процент жилой площади в доме.

• Среднее число жильцов на этаж вычислим, используя формулу:

Исходная величина:

Номер дома	Число этажей в доме	Общая площадь дома, м2	Процент жилой площади в доме, %	Процент жилой площади, требующей ремонта,%	Среднее число жителей на одном этаже, чел.
1	2	1500	70	50	40
2	3	3000	80	30	65
3	4	8000	90	20	50
Итого	3	12500	85,2	32	53

Вывод: Судя по данным мы узнаём, что на отчетную дату по микрорайону города, в доме, где проживают в среднем около 500 человек, необходим ремонт 32% жилой площади, остальная же площадь соответствует нормам проживания.

Задача 4

По данным опроса руководителей малых предприятий добывающих и обрабатывающих производств России в 2005 г. получены оценки основных факторов, ограничивающих рост производства в сферах экономической деятельности (в процентах от числа опрошенных):

Факторы, ограничивающие рост производства	Вид экономической деятельности
	добыча полезных ископаемых	обрабатывающие производства
Недостаточный спрос на продукцию предприятия на внутреннем рынке	32	49
Недостаточный спрос на продукцию предприятия на внешнем рынке	7	7
Конкурирующий импорт	4	16
Высокий уровень налогообложения	49	43
Изношенность и отсутствие оборудования	36	26
Неопределенность экономической ситуации	25	32
Высокий процент коммерческого кредита	23	20
Недостаток финансовых средств	52	43
Недостаток квалифицированных рабочих	22	20
Отсутствие или несовершенство нормативно-правовой базы	11	8
Нет ограничений	9	9
Источник: Малое предпринимательство в России. 2006: Стат.сб./Росстат. - М., 2006. - С. 89.

Определите, в какой мере согласуются мнения руководителей малых предприятий различных сфер экономической деятельности относительно факторов, ограничивающих рост производства. Оценку осуществите с помощью коэффициентов ранговой корреляции Ч. Спирмэна и М. Кендэла.

Сделайте выводы.

Решение:

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - непараметрический метод, который используется с целью статистического изучения связи между явлениями. В таком случае определяется фактическая степень параллелизма между двумя количественными рядами изучаемых признаков и дается оценка тесноты установленной связи с помощью количественно выраженного коэффициента.

Практический расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена включает этапы:

1) Сопоставить каждому из признаков их порядковый номер (ранг) по возрастанию (или убыванию).

2) Определить разности рангов каждой пары сопоставляемых значений.

3) Возвести в квадрат каждую разность, и суммировать полученные результаты.

4) Вычислить коэффициент корреляции рангов по формуле:

,

Где:

 - сумма квадратов разностей рангов, а   - число парных наблюдений.

d – Разность рангов признаков Х и У;

n – Число наблюдаемых единиц.

При использовании коэффициента ранговой корреляции условно оценивают тесноту связи между признаками, считая значения коэффициента равные 0,3 и менее, показателями слабой тесноты связи; значения более 0,4, но менее 0,7 - показателями умеренной тесноты связи, а значения 0,7 и более - показателями высокой тесноты связи.

Для удобства вычисления коэффициента можно составить такую таблицу:

Факторы, ограничивающие рост производства	Rх	Rу	d=Rх - Rу	d2
1	8	1	7	49
2	4	8	-4	16
3	5	4	1	1
4	1	6	-5	25
5	6	5	1	1
6	7	7	0	0
7	9	9	0	0
8	10	3	7	49
9	11	11	0	0
10	2	10	-8	64
11	3	2	1	1
Итого:	66	66	0	206

В нашем случае получим:

,

Вывод: относительно факторов, ограничивающих рост производства, существует прямая высокая тесная связь между мнениями руководителей малых предприятий различных сфер экономической деятельности.

Коэффициент ранговой корреляции М. Кендалла является альтернативой методу определения корреляции Спирмана, ведь он предназначен для определения взаимосвязи между двумя ранговыми переменными.

Интерпретация результатов определяется как разность вероятностей совпадения и инверсии в рангах.

Для одних и тех же значений переменных значения коэффициента корреляции Спирмена будет всегда немного больше, чем значения коэффициента ранговой корреляции Кендалла, тогда как уровень значимости будет одинаков или же у коэффициента корреляции  -Кендалла будет немного больше.

Формула определения коэффициента ранговой корреляции может быть выражена следующим образом:

,

где P(p) — число совпадений, P(q) — число инверсий, N — объем выборки

При наличии связанных рангов формула изменяется с учетом поправки на связанные ранги:

,

где P(p) — число совпадений, P(q) — число инверсий, N — объем выборки,  — поправка на связи рангов переменной X,   — поправка на связи рангов переменной Y.

В упрощенном виде формулу коэффициента корреляции Кендалла можно записать как:

,где

статистика Кендэла (число инверсий).

Для определения необходимо:

1)ранжировать объекты по одной переменной в порядке возрастания рангов

2)определить соответствующие им ранги по другой переменной.

Статистика равна общему числу инверсий (нарушений порядка, когда большее число стоит слева от меньшего) в ранговой последовательности (ранжировке) . При полном совпадении двух ранжировок получим и ; при полной противоположности можно показать, что и . Во всех остальных случаях .

Факторы, ограничивающие рост производства	Rx	Ry	Число инверсий
			меньше	больше
3	1	11	10	0
2	2	10	9	0
11	3	1	0	8
10	4	8	6	1
9	5	4	2	4
7	6	5	2	3
6	7	9	4	0
1	8	2	0	3
5	9	7	2	0
4	10	3	0	1
8	11	6	0	0
Итого:			К-35	К=20

>0,

Вывод: данные свидетельствуют о том, что существует умеренная тесная связь между двумя ранговыми переменными.