Замечание

Порядок следования слагаемых неважен: можно вначале взять производную от показательной функции, а затем как от степенной, так как от перестановки слагаемых сумма не меняется:

2-ой способ

С помощью логарифмического дифференцирования:

3-ий способ

Представим функцию   в следующем виде (используются свойства логарифмов):

Тогда

44)Производные тригонометрических функций.

Производная	Область определения
(sinx)′=cosx	−∞<x<∞
(cosx)′=−sinx	−∞<x<∞
(tanx)′=1cos2x=sec2x	x≠π2+πn,n∈Z
(cotx)′=−1sin2x=−csc2x	x≠πn,n∈Z
(secx)′=tanxsecx	x≠π2+πn,n∈Z
(cscx)′=−cotxcscx	x≠πn,n∈Z
(arcsinx)′=1√1−x2	−1<x<1
(arccosx)′=−1√1−x2	−1<x<1
(arctanx)′=11+x2	−∞<x<∞
(arccot x)′=−11+x2	−∞<x<∞
(arcsec x)′=1|x|√x2−1	x∈(−∞,−1)∪(1,∞)
(arccsc x)′=−1|x|√x2−1	x∈(−∞,−1)∪(1,∞)

45)Производная логарифмической функции. Логарифмическое дифференцирование .Производная показательно-степенной функции.(см.43)

Для функций вида   для упрощения нахождения производной рациональнее использовать логарифмическое дифференцирование.

Суть метода логарифмического дифференцирования

Суть такого дифференцирования заключается в следующем: вначале находится логарифм заданной функции, а уже затем вычисляется от него производная. Пусть задана некоторая функция  . Прологарифмируем левую и правую части данного выражения:

Далее продифференцируем полученное равенство при условии, что   является функцией от  , то есть найдемпроизводную сложной функции:

А тогда, выражая искомую производную  , в результате имеем:

46) Основные правила дифференцирования 1. Производная постоянной величины равна 0. 2. Производная алгебраической суммы нескольких дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций. 3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения каждой функции на производную другой функции. Следствия: а) Постоянный множитель можно выносить за знак производной. б) Производная произведения любого числа дифференцируемых функций равна сумме произведения производной каждой функции на произведение всех остальных функций. 4. Производная частного равна производной числителя, умноженной на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, и все это деленное на квадрат знаменателя. Следствия: 47) Производная сложной функции равна произведению производных от функций, составляющих данную функцию. - дифференцируемые функции. Тогда 48). Производная обратной функции. Пусть нам дана дифференцируемая функция y= f(x). Если y рассматривать как аргумент, а x- функцию, то новая функция называется обратной по отношению к y. Зная производную функции y= f(x) ,можно найти производную обратной функции предполагая, что обратная функция существует и непрерывна. Теорема. Для дифференцируемой функции с производной не равной 0, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции

4 9) Производные обратных тригонометрических функций. 50) Производные неявно и параметрически заданных функций Неявно заданная функция Функция заданная параметрически

5 1) Гиперболические функции и их производные Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями. 52) Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

53) Производные высших порядков 54) Уравнение касательной и нормали к графику функций 55) Теорема Ролля 56) Теорема Лагранджа 57) Теорема Коши 58) Правило Лопиталя

59)Формула Тейлора

60) Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции

61) Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума 62) Выпуклость и вогнутость графика функций 63) Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия существования точек перегиба

64) Кривизна плоской кривой, центр кривизны, радиус кривизны

65) Векторная функция скалярного аргумента, ее производная