14)Смешанное произведение векторов и его свойства. Условие компланарности трех векторов.

Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c.

Смешанное произведение векторов a = {a_x; a_y; a_z}, b = {b_x; b_y; b_z} и c = {c_x; c_y; c_z} в декартовой системе координат можно вычислить, используя следующую формулу:

a · [b × c] =	ax	ay	az
	bx	by	bz
	cx	cy	cz

Свойства смешанного произведения векторов

Геометрический смысл смешанного произведения.

 Модуль смешанного произведения трех векторов a, b и с равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами: V_парал = |a · [b × c]|

Геометрический смысл смешанного произведения.

Объем пирамиды образованной тремя векторами a, b и с равен одной шестой части от модуля смешанного произведения этих векторов:

Vпир =	1	|a · [b × c]|
	6

Если смешанного произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора компланарные.

a · [b × c] = b · (a · c) - c · (a · b)

a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = -a · [c × b] = -b · [a × c] = -c · [b × a]

a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 - тождество Якоби.

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

Условия компланарности векторов

Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.

15)Деление отреза в заданном направлении.

Формулы деления отрезка в данном отношении на плоскости

Если известны две точки плоскости  , то координаты точки  , которая делит отрезок   в отношении  , выражаются формулами:

Формулы деления отрезка в данном отношении в пространстве

Если известны две точки пространства  , то координаты точки  , которая делит отрезок   в отношении  , выражаются формулами: .

Формулы координат середины отрезка

16)Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой.

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0,причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

Виды:

1.y=kx+b, k=tga

2.y-y0=k(x-x0) , k=tga-уравнение прямой ,проходящей через точку М с заданным угловым коэффициентом к

3.Ax+By+C=0, A^2+B^2 не равно 0- уравнение вектора нормали прямой N=(A,B)

4.A(x-x0)+B(y-y0)=0-уравнение прямой проходящей через точку М с заданным вектором нормали N=(A,B)

5.x-x0/m=y-y0/n, m^2+n^2 не равно 0-каноническое уравнение прямой (направляющий вектор S=(m,n), M(x0,y0))

6.x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1-уравнение прямой ,проходящей через две различные точки M(x1;y1) u M(x2;y2)

Угол между двумя прямыми l1:y=k1x+b1 и l2:k2y=b2 определяется по формуле:

Tga=+-(k2-k1)/1+k1*k2>=0

17)Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.

Угол между двумя прямыми l1:y=k1x+b1 и l2:k2y=b2 определяется по формуле:

Tga=+-(k2-k1)/1+k1*k2>=0

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.     

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде A₁x + B₁y + C₁ = 0,         

A₂x + B₂y + C₂ = 0, 

необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

     

 Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

     

24)Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.Точка пересечения прямой и плоскости.

 1)Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

   Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

                 

                                          рис.8.

Теорема. Пусть плоскость   задана общим уравнением   ,

а прямая L задана каноническими уравнениями        

или параметрическими уравнениями

                               ,    ,

в которых   – координаты нормального вектора плоскости  ,   – координаты произвольной фиксированной точки прямой L,    –

координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:

1) если  , то прямая L пересекает плоскость   в точке, координаты которой   можно найти из системы уравнений

              ;           (7)

2) если   и  , то прямая лежит на плоскости;

3) если   и  , то прямая параллельна плоскости.

   Доказательство. Условие   говорит о том, что вектроры   и   не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М. Координатыточки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальные уравнения системы, находим координаты искомой точки.

   Если  , то это означает, что  . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости и координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка  . Если  , то точка   – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

   Если  , а  , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.

Теорема доказана.

2)Найти точку пересечения прямой   и плоскости  .

1. Находим параметрические уравнения прямой. Для этого полагаем

,

откуда получаем

2. Подставляя эти выражения для   в уравнение плоскости и решая его относительно  , находим значение параметра  , при котором происходит пересечение прямой и плоскости.

3. Найденное значение   подставляем в параметрические уравнения прямой и получаем искомые координаты точки пересечения:

Замечание. Если в результате решения уравнения относительно параметра   получим противоречие, то прямая и плоскость параллельны (это эквивалентно условию  ).

25)Канонические уравнения окружности,эллипса,гиперболы и параболы.

30)Основные элементарные функции и их графики.

1.	Пропорциональные величины. Если переменные  y  и  x  прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними  выражается уравнением:              y  = k x ,где  k  - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ). График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X  угол  , тангенс которого равен  k : tan   = k  ( рис.8 ). Поэтому, коэффициент пропорциональности называетсятакже угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для  k = 1/3,  k = 1 и  k = 3 .
2.	Л инейная функция. Если переменные  y и x связаны уравнением 1-ой степени:  A x + B y = C ,где по крайней мере одно из чисел  A  или  B  не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.
3.	О братная пропорциональность. Если переменные  y  и  x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением: y = k / x ,где  k - постоянная величина. График обратной пропорциональности – гипербола ( рис.10 ).  В общем случае эта величина равна  k, что следует из уравнения гиперболы:  xy = k.

 

5.

С тепенная функция. Это функция:  y = axn, где a, n – постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax; при n = 2 - квадратную параболу ; при n = 1 - обратную пропорциональность или гиперболу.  Если  n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли  n  чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции:  для  n= 2  и  n = 3. При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция  y = x 3 называется кубической параболой. На рис.16 представлена функция  . Эта функция является обратной к квадратной параболе  y = x 2

6.	П оказательная функция. Функция   y = ax, где  a - положительное постоянное число, называется показательной функцией. Аргумент  x принимает любые действительные значения;  в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция  y = 81x имеет при  x = 1/4 четыре различных значения:  y = 3,  y = 3,  y = 3 i  и  y = 3 i (проверьте, пожалуйста !).Но мы рассматриваем в качестве значения функции только  y = 3.
7.	Л огарифмическая функция. Функция  y = log a x, где  a – постоянное положительное число, не равное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции;
8.	Т ригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция  y = sin x представляется графиком ( рис.19 ). Эта кривая называется синусоидой. График функции  y = cos x представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика  y = sin x  вдоль оси Х  влево на  2   Графики функций  y = tan x  и  y = cot x  показаны соответственно на рис.21 и рис.22             Из графиков видно, что эти функции: периодические (их период  ), неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы       монотонности (какие?), разрывные (какие точки разрыва имеют эти функции?).       Область определения и область значений этих функций:
9.	Обратные тригонометрические функции.

Ф ункции  y = Arcsin x ( рис.23 ) и  y = Arccos x ( рис.24 ) многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно:  1    x   +1  и  < y +  . Поскольку эти функции многозначные,не рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения:  y = arcsin x  и   y = arccos x; их графики выделены на рис.23 и рис.24 жирными линиями.

 

 

Функции  y = Arctan x ( рис.25 ) и  y = Arccot x ( рис.26 ) - многозначные, неограниченные; их область определения:     x   +   . Их главные значения  y = arctan x  и  y = arccot x рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рис.25 и рис.26 жирными ветвями.