23. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Сделать чертеж.
Пусть дана некоторая прямая L. Проведём через начало координат прямую n, перпендикулярно данной и назовём её нормалью к прямой L. Буквой N отметим точку, в которой нормаль пересекает прямую L. На нормали введём направление от точки O к точке N.
Обозначим
через 
угол,
на которой нужно повернуть против
часовой стрелки осьOx до совмещения
её положительного направления с
направлением нормали, черезp длину
отрезка ON.
Тогда
уравнение
. (1)
будет нормальным
уравнением прямой. С помощью нормального
уравнения прямой можно определить
расстояние от данной точки плоскости
до прямой. Пусть 
-
точка, не лежащая на прямой, заданной
нормальным уравнением. Требуется
определить расстояние d от точки
до прямой. Это расстояние определяется
по формуле
. (2)
Общее уравнение прямой можно привести
к нормальному виду. Пусть
-
общее уравнение прямой, а
-
её нормальное уравнение. Так как оба
уравнения определяют одну и ту же прямую,
их коэффициенты пропорциональны.
Очевидно,
для получения нормального уравнения
следует все члены общего уравнения умножить
на постоянный множитель 
,
вычисляемый по формуле
. (3)
В этой формуле берётся знак, противоположный
знаку C в общем уравнении прямой.
Таким образом, получаем уравнение
, (4)
которое и будет нормальным уравнением прямой на плоскости
24. Взаимное расположение прямых на плоскости. Нахождение точек пересечения. Пример.
Пусть две прямые заданы уравнениями
, 
.
(4.1)
Поскольку
угловой коэффициент определяет наклон
прямой к оси абсцисс, то очевидно, что
равные углы наклона соответствуют
параллельным прямым. Поэтому условием
параллельности двух прямых, заданных
уравнениями (4.1) является равенство их
угловых коэффициентов
.
(4.2)
Если 
,
то угол 
между
прямыми (4.1) определяется известной
тригонометрической формулой тангенса
разности двух углов 
,
которое в случае прямых принимает вид
.
(4.3). Если прямые (4.1) перпендикулярны, т.е. 
,
то
−
(4.4
условие
параллельности 
;
(4.6) условие
пер-сти 
;
(4.7)
угол
между прямыми 
.
(4.8) Условие 
(4.9)
определяет совпадающие прямые. Точка
пересечения двух прямых (4.5) есть
общая точка этих прямых. Координаты
этой точки должны одновременно
удовлетворять уравнениям обеих прямых,
т.е. системе
.
(4.10)
Решая эту систему, находим координаты искомой точки.
Замечание. Для определения угла между прямыми, удобнее переходить к уравнению с угловым коэффициентом.
25. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки. (с выводом)
Пусть M1(x1,y1) и M2(x2,y2)∈l. M (x,y) – текущая точка l. Если q=m,n направляющий вектор l, то выполняется каноническое уравнение. Ясно, что M1M2=x2-x1;y2-y1=q, т.е. m=x2-x1, n=y2-y1, тогда x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1-уравнение, проходящее через 2 точки. Задача. Составить общее уравнение прямой, проходящей через 2 точки:
M14;-3;
M2(3;8) Имеем: x-4/3-4=y+3/8+3. x-4/-1=y+3/11. 11(x-4)=-1(y+3).
11x-44=-y-3
->Ответ
A=11;B=1;C=-41
26.Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование .Нормальный вектор прямой. Уравнение прямой «в отрезках».
Ах+Ву+С=0(А2+В2
0)-общее
ур-е прямой. 1)В=0,то ур-е имеет вид
Ах=С=0,причем А
0,т.е.
х=-С/А ур-е прямой || оси Оу и прох.через
точку (-С/А);0). 2)В
0,то
получим у=-Ах/В-С/В-ур-е прямой с углов.коэф.
k=tg
=-A/B.
Исследования:1)А=0=>By+C=-C/B-ур-е прямой ||
оси Ох;2)В=0=> Ах+С=0=>х=-С/А-ур.прямой ||
оси Ох;3)С=0=>Ах+Ву=0=>у=-А/В т. х-ур-е
прямой прох-й через начало
координат;4)А=В=0=>Ву=0=>у=0-ур-е оси
Ох;5)В=С=0=>Ах=0=>х=0-урав.оси Оу.
Определение: Вектор n=A,B,⊥l, называется нормальным вектором l или нормалью.
С = 0: Ax+By+C=0 и l проходит через начало координат.
By=-Ax, y//y=-ABx=kx//В = 0: Ax+l=0//x=-CA, l∥Oy y=0//A=0;By+C=0, y=-CB, l∥Ox //B=C=0:Ax=0 и x=0-это ось Оу//
A=C=0:By=0 и y=0-это ось Оx x=0//
Уравнение прямой «в отрезках».
Ax+By+C=0=>Ax+By=-C/:(-C)
Ax-C+By-C=1//x-CA+y-CB=1// xa+yb=1-уравнение прямой l «в отрезках»