44. Уравнения прямой в пространстве.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0;  (3.2)

2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

=  (3.3)

3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

.                                        (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

47. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности.

Пусть даны прямые l1 и l2: (x-x1)/m1=(y-y1)/n1=(z-z1)/p1 (6.9.1) (x-x2)/m2=(y-y2)/n2=(z-z2)/p2 (6.9.2) Определение. Углом между двумя прямыми l1 и l2 называется угол между их направляющими векторами  (m1,n1,p1) и  (m2,n2,p2) (рис.6.5.).  (6.9.3) Если прямые (6.9.1) и (6.9.2) параллельны, то   и   коллинеарны. Отсюда получаем условие параллельности прямых: m1/m2 = n1/n2 = p1/p2 (6.9.4) Если прямые (6.9.1.)и (6.9.2.) взаимно перпендикулярны, то   и   также перпендикулярны и их скалярное произведение равно нулю, т.е. ( ) = 0 m1m2 + n1n2 + p1p2 = 0 (6.9.5.) Это условие перпендикулярности двух прямых.

45.Канонические уравнения прямой в пространстве

Каноническими уравнениями прямой в пространстве называются уравнения, определяющие прямую, проходящую через заданную точку коллинеарно направляющему вектору.

Пусть дана точка и направляющий вектор Произвольная точка лежит на прямой l только в том случае, если векторы и коллинеарны, т. е. для них выполняется условие:

Приведённые выше уравнения и есть канонические уравнения прямой.

Числа m, n и p являются проекциями направляющего вектора на координатные оси. Так как вектор  ненулевой, то все числа m, n и p не могут одновременно равняться нулю. Но одно или два из них могут оказаться равными нулю. В аналитической геометрии допускается, например, такая запись:

которая означает, что проекции вектора на оси Oy и Oz равны нулю. Поэтому и вектор и прямая, заданная каноническими уравнениями, перпендикулярны осям Oy и Oz, т. е. плоскости yOz.

Пример 1. Составить уравнения прямой в пространстве, перпендикулярной плоскости    и проходящей через точку пересечения этой плоскости с осью Oz.

Решение. Найдём точку пересечения данной плоскости с осью Oz. Так как любая точка, лежащая на оси Oz, имеет координаты , то, полагая в заданном уравнении плоскости x = y = 0, получим 4z - 8 = 0 или z = 2. Следовательно, точка пересечения данной плоскости с осью Oz имеет координаты (0; 0; 2). Поскольку искомая прямая перпендикулярна плоскости, она параллельна вектору её нормали . Поэтому направляющим вектором прямой может служить вектор нормали    заданной плоскости.

Теперь запишем искомые уравнения прямой, проходящей через точку A = (0; 0; 2) в направлении вектора : :

или

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Прямая может быть задана двумя лежащими на ней точками   и   В этом случае направляющим вектором прямой может служить вектор   .Тогда канонические уравнения прямой примут вид

Приведённые выше уравнения и определяют прямую, проходящую через две заданные точки.

Пример 2. Составить уравнение прямой в пространстве, проходящей через точки  и

Решение. Запишем искомые уравнения прямой в виде, приведённом выше в теоретической справке:

или

Так как   то искомая прямая перпендикулярна оси Oy.

Прямая как линия пересечения плоскостей

Прямая в пространстве может быть определена как линия пересечения двух непараллельных плоскостей  и   , т. е. как множество точек, удовлетворяющих системе двух линейных уравнений

Уравнения системы называются также общими уравнениями прямой в пространстве.

Пример 3. Составить канонические уравнения прямой в пространстве, заданной общими уравнениями

Решение. Чтобы написать канонические уравнения прямой или, что то же самое, уравнения прямой, проходящей через две данные точки, нужно найти координаты каких-либо двух точек прямой. Ими могут служить точки пересечения прямой с какими-нибудь двумя координатными плоскостями, например yOz и xOz.

Точка пересечения прямой с плоскостью yOz имеет абсциссу x = 0. Поэтому, полагая в данной системе уравнений x = 0, получим систему с двумя переменными:

Её решение y = 2, z = 6 вместе с x = 0 определяет точку A (0; 2; 6) искомой прямой. Полагая затем в заданной системе уравнений y = 0, получим систему

Её решение x = -2, z = 0 вместе с y = 0 определяет точку B (-2; 0; 0) пересечения прямой с плоскостью xOz.

Теперь запишем уравнения прямой, проходящей через точки A (0; 2; 6) и B (-2; 0; 0):

или после деления знаменателей на -2:

где