1. Определение матрицы. Классификация матриц: квадратная, диагональная, единичная, симметрическая, ступенчатая, транспортированная, примеры.

М атрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде:

Здесь порядок m × n. Другие обозначения: aij=aij, где – номер строки, – номер столбца. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера n × n называют матрицей n-го порядка.

Числа , составляющие матрицу, называются ее элементами. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют главную диагональ.

Если выше или ниже главной диагонали все 0, то квадратная матрица называется ступенчатой, или треугольной.

Если на главной диагонали числа, а остальные 0, то квадратная матрица называется диагональной.

Если все 0, то матрица называется нулевой.

Если у диагональной матрицы на главной диагонали все 1, то диагональная матрица называется единичной. Обозначается буквой Е.

Матрица называется симметричной, если относительно главной диагонали все числа одинаковы.

Матрица называется транспонированной матрицей, если она получена из матрицы заменой всех строк на соответствующие столбцы. Обозначается .

2. Матрицы и основные действия над ними. Пример умножения двух матриц.

Сложение. Матрицы можно сложить, если у них одинаковые порядки. Если матрицаA=aij и матрица B=bij, то A+B=aij+bij. Например: Умножение на число. Если матрицаA=aij и λ – число, то λ∙A=λ∙aij. Умножение матриц. Матрицы А и В можно перемножить, если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В. В общем случае АВ не равно ВА, но если это равенство выполняется, то матрицы А и В называются коммутирующими друг другу. Матрица А-1 называется обратной матрицей А, если выполняются соотношения: A-1∙A=A∙A-1=E . Выполняются следующие свойства: 1.(А + В) + С = А + (В + С); 2.A∙E=E∙A=A; 3.(A-1)-1 = A; 4.(А ∙ В) ∙ С = А ∙ (В ∙ С); 5.(А ∙ В)-1 =B-1∙A-1

Пример умножения 2-х матриц

3. Элементарные преобразования над матрицами. Эквивалентные матрицы. Приведение матриц к ступенчатому виду, пример.

Под элементарными преобразованиями над матрицей понимают: 1.Вычеркивание 0-го ряда; 2.Замена местами любых двух параллельных рядов; 3.Умножение на ненулевое число. 4.Транспонирование. 5.Умножение любого ряда на число. 6.Прибавление к любому ряду параллельного ряда, умноженное на любое ненулевое число. Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А ~ В. С помощью таких преобразований любую матрицу можно привести к ступенчатому (треугольному) виду; более того матрицу можно преобразовать таким образом, что останутся в конечном счете только 0 и 1. Число полученных 1 составляет ранг матрицы.

4. Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы.

Основные понятия

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель не равен нулю: . В противном случае ( ) матрица А называется вырожденной.

М атрицей, союзной к матрице А, называется матрица

где - алгебраическое дополнение элемента данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

Матрица называется обратной матрице А, если выполняется условие: ,      (3.1) где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица имеет те же размеры, что и матрица А.

Теорема 3,1 Всякая невырожденная матрица имеет обратную

     (3.2) .      (3.3)Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде и Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получим т.е. .Отметим свойства обратной матрицы: 1. ; 2. ;3. .

5. Определители 2-го и 3-го порядка и методы их вычисления. Примеры.

Понятие определителя - число, характеризующее квадратную матрицу , необходимо для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Определитель матрицы обозначают , , .

1) Определителем матицы 1-го порядка , называется элемент : ;

2) Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

. Произведения называются членами определителя 2-го порядка.

3) Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

.

Данная формула получила название правила треугольников или правило Саррюса.

6. Определители. Свойства определителей.

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.

Свойство 1 («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменяется, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

Иными словами , .

Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

Действительно, .

Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Например, .

Свойство 6. («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.

Пример 2.3. Доказать, что .Решение: Действительно, используя свойства 5, 4 и 3 получим .

Дальнейшие свойства определителя связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.