МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УТВЕРЖДАЮД

Д

зам. директора ИК по учебной работе

____________ С. А. Гайворонский

“____”_______________2013 г.

Безусловная одномерная оптимизация

Методические указания по выполнению лабораторных

работ по курсу «Математическое программирование и оптимизация систем» для студентов направления 657900 – Автоматизация технологических процессов и производств (в нефтегазовой отрасли)

Томск 2013

УДК 681.5

Безусловная одномерная оптимизация. Методические указания по выполнению лабораторных работ по курсу «Математическое программирование и оптимизация систем» для студентов направления 657900 – Автоматизация технологических процессов и производств (в нефтегазовой отрасли) – Томск: Изд. ТПУ, 2013. – 18 с.

Составитель: Воронин А. В.

Рецензент: доцент кафедры ИКСУ ТПУ Громаков Е.И.

Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры интегрированных компьютерных систем управления “____” ______________ 2013 г.

Зав. Кафедрой иксу, к.Т.Н., доцент _________________ а. В. Лиепиньш

Цель работы: знакомство с оптимизационными задачами, изучение различных методов одномерной оптимизации и сравнение эффективности их применения для конкретных целевых функций.

1. Краткие теоретические сведения

1.1 Постановка задачи одномерной безусловной оптимизации

Поиск экстремума функции одной переменной имеет самостоятельный интерес, так как является составной частью многих методов многомерной оптимизации. От правильной организации одномерного поиска существенно зависит успех решения всей задачи. Кроме того, одномерная оптимизация, будучи простой по формулировке задачей, позволяет легко войти в общую проблематику оптимизационных задач.

Далее, для конкретности, мы будем рассматривать задачу оптимизации на примере задачи минимизации в силу эквивалентности двух типов оптимизационных задач (максимизации и минимизации). Задача поиска минимума целевой функции формулируется в виде:

,

где – множество допустимых точек, среди которых ищется точка , доставляющая минимум целевой функции.

Когда , мы имеем дело с одномерной безусловной задачей минимизации, т.е. когда целевая функция имеет только один простой аргумент и область есть вся вещественная числовая ось.

В методах одномерной оптимизации вместо рассматривается отрезок , содержащий искомое решение . Такой отрезок называется отрезком неопределенности, или отрезком локализации. Относительно целевой функции часто предполагается, что она унимодальная.

Определение: Функция называется унимодальной на , если существует такая точка x*X, что

, если

, если

Если ограничиваться рассмотрением лишь непрерывных функций , то свойство унимодальности функции означает наличие у нее единственного локального минимума и этот минимум достигается в точке .

В ряде методов относительно целевой функции предполагается, что она выпуклая на .

Определение. Функция называется выпуклой на ,

если

при любых и всех .