Уравнение движения тела переменной массы

      Получим уравнение движения тела переменной массы (например, движение ракеты сопровождается уменьшением ее массы за счет истечения газов, образующихся от сгорания топлива).       Пусть в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v; тогда по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m–dm, а скорость увеличится до величины v+dv. Изменение импульса системы за время dt будет равно:

где u - скорость истечения газов относительно ракеты. Раскрывая скобки в этом выражении, получим:

      Если на систему действуют внешние силы, то   или dp = Fdt. Тогда Fdt = mdv + udm, или                                                                          (2.12) где член   называют реактивной силой F_p. Если вектор u противоположен v, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится.       Таким образом, уравнение движения тела переменной массы имеет следующий вид:                                                                                     (2.13) Уравнение (2.13) называется уравнением И.В. Мещерского.       Применим уравнение (2.12) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Тогда, полагая F = 0 и считая, что ракета движется прямолинейно (скорость истечения газов постоянна), получим:

откуда

или

где С – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент времени v=0, а стартовая масса ракеты составляет m₀, то C = u*ln m₀. Следовательно,                                         (2.14)       Полученное соотношение называют формулой К.Э. Циолковского. Из выражения (2.14) следуют следующие практические выводы:       а) чем больше конечная масса ракеты m, тем больше должна быть стартовая масса m₀;       б) чем больше скорость истечения газов u, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.       Уравнения Мещерского и Циолковского справедливы для случаев, когда скорости v и u намного меньше скорости света c.

5. Момент инерции. Теорема Штейнера

   Момент инерции материальной точки равен

    Моментом инерции системы относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведения масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.

теоремa Штейнера: момент инерции тела І относительно параллельной оси вращения равен моменту инерции І_с относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями

Например, для обруча на рисунке момент инерции относительно оси O’O’, равен

 

 

Момент силы.    Моментом силы   относительно неподвижной точкиO называется псевдовекторная величина   равная векторному произведению радиус-вектора  , проведенному из точки O в точку приложения силы, на силу   

Модуль момента силы:

- псевдовектор, его направление совпадает с направлением плоскости движения правого винта при его вращении от    к  . Направление момента силы можно также определить по правилу левой руки: четыре пальца левой руки поставить по направлению первого сомножителя  , второй сомножитель   входит в ладонь, отогнутый под прямым углом большой палец укажет направления момента силы   . Вектор момента силы всегда перпендикулярен плоскости, в котоой лежат векторы   и  .

 -где  кратчайшее расстояния между линией действия силы и точкой О называется плечом силы.

Моментом силы   относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина равнаяпроекции на эту ось вектора момента силы  , определённого относительно произвольной точки O данной оси Z. Если ось Z перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы   и  , т.е. совпадает с направлением вектора  , то момент силы п редставляется в виде вектора совпадающего с осью.

Ось, положение которой в пространстве остается неизменнымпривращении вокруг тела в отсутствие внешних сил,называется свободной осью тела.

  Для тела любой формы и с произвольным распределением массы существует 3 взаимно перпендикулярных, проходящих через центр инерции тела оси, которые могут служить свободными осями:они называются главными осями инерции тела.

6-й билет

Моментом импульса материальной точки относительно некоторой точки О называется вектор   , равный векторному произведению радиус-вектора материальной точки относительно точки О на импульс материальной точки 

 Модуль момента импульса

 

 

Направление момента импульса определяется по правилу правого винта (вектора   и   составляют правую тройку векторов).

Момент импульса системы материальных точек равен векторной сумме моментов импульсов отдельных материальных точек системы или векторному произведению радиус-вектора центра масс системы на импульс ее центра масс

Величина момента импульса твердого тела относительно оси вращения 

где   - момент инерции тела относительно оси z, w - угловая скорость тела.

Изотропность пространства (осевая симметрия пространства) приводит к закону сохранения момента импульса: в замкнутых системах момент импульса сохраняется.