12.Непозиционные системы счисления. Примеры

Непозиционная система счисления

Непозиционная система счисления - это система счисления, в которой значение цифры не изменяется в зависимости от ее расположения.

Примером непозиционной системы счисления служит римская система, в которой вместо цифр используются латинские буквы.

Например: Число 242 можно записать ССXLII (т.е. 100+100+(50-10) +1+1).

Число 96 запишем XCVI=(-10+100)+(5+1).

Значение 1=I в данном случае не изменяется от ее местоположения.

Cоответствие римской и арабской системы записи

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

В непозиционных системах счисления величина, обозначающая цифру, не зависит от положения в числе. К тому же, система может накладывать ограничения на расстановку цифр, например, чтобы цифры располагались по убыванию.

Существуют такие непозиционные системы счисления:

- Единичная система счисления,

- Пятеричная система счисления (Счёт на пятки́),

- Древнеегипетская система счисления,

- Вавилонская система счисления,

- Алфавитные системы счисления,

- Еврейская система счисления,

- Греческая система счисления,

- Римская система счисления,

- Система счисления майя,

- Кипу инков,

Рассмотрим некоторые из, приведенных выше, систем счисления. /\

13.Позиционные системы счисления. Примеры

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Например, запись «14» обозначает четырнадцать, «41» — сорок один, при этом для записи числа используются одни и те же цифры, число зависит от их позиции.

Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией.

Двоичная, десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы с основаниями два, десять, восемь и шестнадцать соответственно являются позиционными системами счисления.

Продвижением цифры называют её замену на следующую по величине.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3. Продвижение старшей цифры в десятичной системе (это цифра 9) означает замену её на 0.

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть крайнюю правую цифру числа, при этом если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно также продвинуть цифру, стоящую слева от неё. Если цифры слева нет, вместо нее ставится ноль и продвигается.

Примеры первых десяти цифр в разных системах счисления:

Двоичная: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001.

Десятичная: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Восьмеричная: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Шестнадцатеричная: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (числа от 10 до 15 в шестнадцатеричной системе изображаются буквами A, B, C, D, E, F).

14.Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Примеры

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую

Можно сформулировать алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием p в систему с основанием q:

1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

Перевод числа из одной системы счисления в другую

Пример 1.1.

Переведите число 101012 в десятичную систему счисления.

Решение

101012=1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 16 + 4 + 1 = 2110.

Ответ: 101012 = 2110.