13. Как осуществляется независимое программное управление движением?

Независимое программное управление движением

В подвижной системе координат линейную и угловую скорости конечного звена можно получить из скоростей предыдущих сочленений:

[«(?) ]^{=IN (ч,] q(п=iN}'^<qKN-'^(q) ^^{(ч)) 4 {І)}' (⁵-⁷⁹⁾

где q(/) = (qi qs)^7-—вектор скорости сочленений манипу

лятора, а N(я)— якобиан размерностью 6X6, х-ftстолбец которого в виде вектора N,(q) может быть найден, согласно работе (3101, в виде

]■

*i-.t Х(р — P(-i) ^zx-i

N,(q) =

если х-е сочленение является вращательным,

если /-е сочленение является поступательным.

(5.7-10)

Знак X означает результат пересечения векторов, р,_1 — положение начала координат (/—1) системы координат по отношению к базовой системе координат, zi-\—единичный вектор, направленный вдоль оси движения х-го сочленения, а р — положение конечного звена в базовой системе координат.

Если инвертированный якобиан существует от я(0. то скорость сочленения я(0 манипулятора может быть вычислена из скорости конечного звена при использовании уравнения (5.7-9):

I Г ^уW1

q(0 = N-‘(q)[_U(/)J. (5.7-11)

Если заданы желаемые линейная и угловая скорости конечного звена, это уравнение позволяет вычислить скорости в сочленениях и определить режимы работы двигателей в сочленениях для того, чтобы обеспечить установившееся движение конечного звена в заданном направлении в декартовой системе координат.

Ускорение конечного звена может быть получено путем определения производной по времени от вектора скорости в уравнении (5.7-9):

I ^V(,) l = N(q, q)q(/) + N(q>q(/), (5.7-12)

где q {() = [<7, (/), ..., (0)^г— вектор ускорения сочленений ма

нипулятора. Подставляя q(/) из уравнения (5.7-11) в уравнение (5.7-12), получим

[ад]^-ЙЛ*^ІГ,Чі«1⁺"“^,'^и- ^,57'¹³’

Ускорении в сочленениях q(/) могут быть вычислены из скоростей и ускорений конечного звена следующим образом:

W[ Z)] - ^N" <Я>^Й<“• Я) N- (q>[ Z ] •

(5.7-14)

Полученные кинематические связи между координатами, связанными с сочленениями, и декартовыми координатами будут использованы в разд. 5.7.1 для различных методов независимого программного управления движением и при выводе уравнений движения конечного звена манипулятора в декартовых координатах.

14. Как осуществляется независимое программное управление движением по скорости?

Независимое программное управление движением но скорости

При независимом программном управлении движением по скорости работа различных двигателей в сочленениях производится независимо и одновременно с различными скоростями, изменяющимися во времени для того, чтобы обеспечить установившееся движение конечного звена манипулятора вдоль любой оси неподвижной системы координат. Математические выражения, связывающие неподвижные координаты, такие, как подъем р_х, смещение р_и. выдвижение поворот а, наклон 0 и вращение ус угловыми координатами шестнзвенного манипулятора, являются заведомо нелинейными.

с помощью нелинейной вектор-функции в виде

(5.7-15)

X </)==! [*</)].

где f(q)—вектор-функция размерностью 6Х 1. а

х (/)(декартовы координаты) =*(р_я, р_у, р„ а, р, ү)^г н q(/)(обобщенные координаты) = (<7,, q_2%.q_n)^T.

Взаимосвязь между линейной и угловой скоростями конечного звена и скоростями сочленений шестизвенного манипулятора определена уравнением (5.7-9).

Для более общего рассмотрения предположим, что манипулятор имеет т степеней свободы, а интересующая нас декар-товз система координат имеет размерность п. Тогда углы в сочленениях и декартовы координаты будут связаны нелинейной функцией согласно уравнению (5.7-15).

Дифференцируя уравнение (5.7-15) по времени, получим

^ = x(/) = N(q)q(0. (5.7-16)

где N (q) — якобиан от q(t),т. е.

Л'„ = -^-. 1 «/«"<• (5.7-17)

Из уравнения (5.7-16) видно, что при осуществлении управления по скорости связь является линейной. Когда x(t)и q(/) имеют одинаковую размерность, манипулятор не имеет избыточных степенен свободы и якобиан может быть инвертирован в соответствии с несингулярным положением q(/):

q(/)=N~^l(q)x(/). (5.7-18)

Если известие скорость движения вдоль декартовых координат, то из уравнения (5.7-18) легко находится комбинация скоростей двигателей в сочленениях, обеспечивающая желаемое движение конечного звена. Для этого могут быть использованы различные методы вычисления обратного якобиана. Блок-схема программного управления движением но скорости приведена на рис. 5.11. Если т>п, манипулятор имеет избыточные степени свободы и обратный якобиан нс существует. Эю сводит задачу к нахождению обобщенного обратного якобиана. В гаком случае если ранг N(q) равен п, то q(/) определяется путем минимизации крипфня ошибки, который

где X —вектор множителя Лагранжа, а А—симметрическая положительно определенная матрица размерностью т X т.

Минимизируя критерий качестваС относительно q(/) и X, имеем

И

x(/) = N(q)q(j).

(5.7-21)

q(/} = A~'N^r(q)X (5.7-20)

Подставляя q(/) из уравнения (5.7-20) н уравнение (5.7-21) и решая его относительно X, получим

X=[N(q) A^_,N^r(q)r'x(0. (5.7-22)

Подставляя X в уравнение (5.7-20), имеем

q(/) = л-'м^г(q) [N (q) А*¹¹N^r(q)]~' x(/). (5.7-23)

Если матрица A — тождественная

уравнение (5.7-23) сводится к уравнению (5.7-18).

Достаточно часто возникает необходимость управлять движением конечного звена не в неподвижной системе координат, а в системе координат конечного звена (рис. 5.10). В этом случае требуемая скорость движения конечного звена в системе координат конечного звена связана с движением в неподвижной декартовой системе координат следующим образом:

х (/) = °R„h(І), (5.7-24)

где °R>, — матрица размерностью лХ6, которая связывает ориентацию системы координат конечного звена относительно неподвижной системы координат. Если задана скорость движения конечного звенаҺ (/) относительно системы координат конечного звена, то, используя уравнения (5.7-23), (5.7-24), скорость движения сочленения может быть вычислена по формуле

q(0 = А' V (q) [N (q) А - V (q)J %h(/).