10. Планиметрия

1. Треугольник

10.1.1. Основные соотношения

A,B,C – вершины aa,b,c – стороны ,, - углы

- неравенства треугольника; ;

теорема проекций

теорема синусов

теорема косинусов

10.1.2. Замечательные линии и точки в теугольнике

m_a, m_b, m_c - медианы

h_a, h_b, h_c - высоты

l_a, l_b , l_c - биссектрисы

p - полупериметр,

r - радиус вписанной окружности

R – радиус описанной окружности

; ;

; ;

10.1.3. Формулы площади треугольника

(формула Герона)

Разбиение треугольника медианами

C

A D B

С войство биссектрисы треугольника

10.1.4. Прямоугольный треугольник

a b

c

(теорема Пифагора)

;

C

A D B

;

или

(CD - высота, опущенная на гипотенузу)

Подобия в прямоугольном треугольнике

10.1.5. Правильный треугольник

p=3a (p - периметр)

10.2. Четырехугольники

1 0.2.1. Квадрат

S=a²

10.2.2. Прямоугольник

p=2(a+b) (p - периметр)

S=ab

10.2.3. Параллелограмм

p=2(a+b) (p - периметр)

a

a

1 0.2.4. Ромб

1 0.2.6. Трапеция

Свойства трапеции

1. Во всякой трапеции середины

оснований К, М лежат на прямой,

проходящей через точку пересечения

д иагоналей О и точку пересечения

продолжений боковых сторон.

K

2. Средняя линия трапеции параллельна

о снованиям и равна их полусумме.

a

10.3. Окружность и круг.

Д лина окружности

д лина дуги окружности

(n - величина дуги в градусах,  - величина дуги в радианах).

П лощадь круга

площадь кольца

.

П лощадь сектора

; ( - величина дуги в градусах)

Свойства окружности

1) касательная и радиус, проведенный в точку касания,

п ерпендикулярны: r  l

2) отрезки касательных, проведенные к окружности

и з точки, лежащей вне ее, равны, т.е.

AB = AC

3 ) диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам; диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.

(AB)  (CD)  CK = KD

4 ) квадрат длины касательной равен произведению длины

секущей на ее внешнюю часть:

AB² =

5 ) центры касающихся окружностей О₁, О₂ и точка их касания М лежат на одной прямой.

6

C

) в четырехугольник можно вписать окружность тогда и

т олько тогда, когда суммы длин противоположных

сторон равны, т.е.:

AB + BC = AB + CD

7 ) около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна

180⁰, т.е.:

Следствия из свойства 7):

- из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность;

- около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая;

8) центральный угол измеряется градусной мерой дуги, на

к оторую он опирается:

О = 

9) величина вписанного угла в два раза меньше центрального

угла, опирающегося на эту же дугу

AOC = 2ABC

1 0) вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, имеют одинаковую величину

ABD = ACD