КТЕ / Laby Maple / 3

Метод бисекции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Метод бисекции или метод деления отрезка пополам — простейший численный метод для решения нелинейных уравнений вида f(x)=0. Предполагается только непрерывность функции f(x). Поиск основывается на теореме о промежуточных значениях.

Содержание

1Обоснование

2Описание алгоритма

3Псевдокод

4Поиск значения корня монотонной дискретной функции

5См. также

6Примечания

7 Литература

8Ссылки

Обоснование

Алгоритм основан на следующем следствии из теоремы Больцано — Коши:

Таким образом, если мы ищем ноль, то на концах отрезка функция должна быть противоположных знаков. Разделим отрезок пополам и возьмём ту из половинок, на концах которой функция по-прежнему принимает значения противоположных знаков. Если значение функции в серединной точке оказалось искомым нулём, то процесс завершается.

Точность вычислений задаётся одним из двух способов:

Процедуру следует продолжать до достижения заданной точности.

Для поиска произвольного значения достаточно вычесть из значения функции искомое значение и искать ноль получившейся функции.

Описание алгоритма

Задача заключается в нахождении корней нелинейного уравнения

Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Один из множества этих способов — умножение значений функции на концах отрезка и определение знака произведения путём сравнения результата умножения с нулём:

в действительных вычислениях такой способ проверки противоположности знаков при крутых функциях приводит к преждевременному переполнению.

Для устранения переполнения и уменьшения затрат времени, то есть для увеличения быстродействия, на некоторых программно-компьютерных комплексах противоположность знаков значений функции на концах отрезка нужно определять по формуле:

так как одна операция сравнения двух знаков двух чисел требует меньшего времени, чем две операции: умножение двух чисел (особенно с плавающей запятой и двойной длины) и сравнение результата с нулём. При данном сравнении, значения функции в точках и можно не вычислять, достаточно вычислить только знаки функции в этих точках, что требует меньшего машинного времени.

Найдём значение в середине отрезка:

в действительных вычислениях, для уменьшения числа операций, в начале, вне цикла, вычисляют длину отрезка по формуле:

Псевдокод

Пусть

xn — начало отрезка по х; xk — конец отрезка по х; xi — середина отрезка по х;

epsy — требуемая точность вычислений по y (заданное приближение интервала [xn; xk] : xk — xn к нулю).

Тогда алгоритм метода бисекции можно записать в псевдокоде следующим образом:

1.Начало.

2.Ввод xn, xk, epsy.

3.Если F(xn) = 0, то Вывод (корень уравнения — xn).

4.Если F(xk) = 0, то Вывод (корень уравнения — xk).

5.Пока xk — xn > epsy повторять:

6.dx := (xk — xn)/2

7.xi := xn + dx;

8.если sign(F(xn)) ≠ sign(F(xi)), то xk := xi;

9.иначе xn := xi.

10.конец повторять

11.Вывод (Найден корень уравнения — xi с точностью по y — epsy).

12.Конец.

Поиск значения корня монотонной дискретной функции

Поиск наиболее приближённого к корню значения в монотонной дискретной функции, заданной таблично и записанной в массиве, заключается в разбиении массива пополам (на две части), выборе из двух новых

частей той части, в которой значения элементов массива меняют знак путём сравнения знаков срединного элемента массива со знаком граничного значения и повторении алгоритма для половины в которой значения элементов массива меняют знак.

Пусть переменные леваяГраница и праваяГраница содержат, соответственно, левую левГран и правую правГран границы массива, в которой находится приближение к корню. Исследование начинается с разбиения массива пополам (на две части) путём нахождения номера среднего элемента массива середина.

Если знаки значений массива массив[леваяГраница] и массив[середина] противоположны, то приближение к корню ищут в левой половине массива, то есть значением праваяГраница становится середина и на следующей итерации исследуется только левая половина массива. Если знаки значений массив[леваяГраница] и массив[середина] одинаковы, то осуществляется переход к поиску приближения к корню в правой половине массива, то есть значением переменной леваяГраница становится середина и на следующей итерации исследуется только правая половина массива. Т.о., в результате каждой проверки область поиска сужается вдвое.

Например, если длина массива равна 1023, то после первого сравнения область сужается до 511 элементов, а после второго — до 255. Т.о. для поиска приближения к корню в массиве из 1023 элементов достаточно 10 проходов (итераций).

Псевдокод:

леваяГраница = левГран праваяГраница = правГран

См. также

Линейный поиск Двоичный поиск Метод дихотомии Метод золотого сечения Троичный поиск

Метод Ньютона

Примечания

1.↑ Ю. Губарь, Курс "Введение в математическое моделирование" Лекция 4: Численные методы решения нелинейных уравнений (http://www.intuit.ru/studies/courses/2260/156/lecture/2284?page=2#sect2): Метод половинного деления // Интуит.ру, 15.03.2007

Волков Е. А. Глава 4. Методы решения нелинейных уравнений и систем. § 26. Метод деления отрезка пополам // Численные методы. — Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр.. — М.: Наука, 1987. —