Предполагаемые напряжения на поверхности головки бедренной кости (Янсон Х.)
Напряжение, МПа Вид движения или нагрузки
0,24 |
Двухопорное стояние Ходьба, |
1,62 |
одноопорное стояние |
|
Бег, прыжки |
3,85—4,00 |
Ходьба |
6,00 |
Ходьба |
0,65 |
Ходьба |
До 2,82 |
Ходьба |
До 3,20 |
|
Геометрия контактирующих гладких поверхностей несогласованной формы.
Рассмотрим контакт тел, у которых начальное расстояние между поверхностями z1 и z2 (рис 9.1) может быть представлено полиномом второго порядка. Тела первоначально вступают в контакт в точке или вдоль линии. Под действием даже небольшой нагрузки они деформируются в окрестности точки начального контакта и приходят в соприкосновение по конечной, хотя и малой по сравнению с размерами обоих тел поверхности.
|
Общая |
|
|
нормаль |
След |
Тело 2 |
|
|
плоскости xy |
|
|
O |
|
z2 |
z1
Тело 1
z
Рис. 9.1. Контакт тел в точке О
|
Общая |
|
|
нормаль |
След |
Тело 2 |
|
|
плоскости xy |
|
|
O |
|
z2 |
z1
Тело 1
z
Рис. 9.1. Контакт тел в точке О
Примем точку начального контакта в качестве начала прямоугольной системы координат, в которой плоскость ху
является общей касательной плоскостью к поверхностям обоих
тел, а ось z ориентирована вдоль общей нормали к касательной
плоскости |
и |
направлена |
внутрь |
нижнего |
тела |
(рис. 9.1).
10
Поверхность каждого из тел предполагаем топографически гладкой на микро- и макроуровне.
На микроуровне это означает отсутствие или неучет поверхностных микронеровностей, которые обусловливали бы неполное прилегание поверхностей контакта или резкие локальные изменения контактных давлений.
На макроуровне профили поверхностей считаем непрерывными в зоне контакта вместе со вторыми производными.
|
Общая |
|
|
нормаль |
След |
Тело 2 |
|
|
плоскости xy |
|
|
O |
|
z2 |
z1
Тело 1
z
Рис. 9.1. Контакт тел в точке О
Профили поверхности вблизи начала координат приближенно представим выражением следующего вида
z A x2 |
B y2 |
C xy ... |
(9.1) |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Выберем ориентацию осей х и у таким образом, чтобы член, содержащий произведение хy, исчез. Запишем в осях
|
х1, y1 |
z |
|
1 |
x2 |
|
1 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2R1 |
|
2R1 |
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
1 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
для поверхности второго тела: |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2R2 |
|
|
2R2 |
|
|
12
где R и R – главные радиусы кривизны
1 1
поверхности тела 1 в начале координат. Они имеют максимальное и минимальное значения среди радиусов кривизны всех сечений профиля в этой точке. Если у тела существует плоскость симметрии, то один из главных радиусов кривизны лежит в этой плоскости.
Зазор между двумя поверхностями равен h = z1 – z2.
Перепишем выражение (9.1) и аналогичное ему для поверхности второго тела в общей системе осей х и у
h Ax2 By2 Cxy.
Подходящим выбором осей можно сделать С равным нулю, тогда
h Ax2 By2 |
1 |
x2 |
|
1 |
y2 |
, |
(9.2) |
|
|
|
2R |
|
2R |
|
|
А и В – положительные постоянные, a R' и R" - называются главными относительными радиусами
кривизны.
Рассмотрим деформированное состояние, возникающее при приложении нормальной силы Р.
На рис. 9.2 показаны два контактирующих тела произвольной выпуклой формы в поперечном сечении. В недеформированном состоянии зазор между двумя соответствующими точками S1(x,y,z) и S2(x,y,z) на поверхностях тел определяется соотношением (9.2).
В силу симметрии выражения (9.2) относительно точки О, область контакта должна иметь одинаковую протяженность по обе стороны от точки О.
При взаимном сжатии удаленные точки обоих тел О1 и О2 смещаются по направлению к точке О вдоль оси z на расстояния 1 и 2 соответственно.
