Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1323 вуза, 5415 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
rn Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"
Предмет:
Конструкционные и биоматериалы
Файл:

КиБМ (Степанов С.К. и Лобачева Д.А.) / Презентации за весь семестр

.pdf
Скачиваний:
225
Добавлен:
14.06.2020
Размер:
13.81 Mб
Скачать
☆

 

 

P

 

 

 

2

O2

 

 

 

 

 

 

Тело 2

 

 

 

 

 

 

 

z1

S1

 

 

 

 

 

1

O

uz1

 

 

 

 

2

 

uz2

 

 

 

 

z2

S2

Тело 1

 

 

След плоскости xy

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

z

 

 

 

1

O1

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

Рис. 9.2. Контакт тел в деформированном состоянии

16

Если точки S1

и S2

приведены в соприкосновение

в результате деформации, то

 

Ax2 By2,

u

 

u

 

h

 

 

 

 

 

 

z1

z2

u

z1

u

z2

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

Если точки S1

и S2

лежат вне области контакта, т. е.

не соприкасаются, то

Ax2 By2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uz1 u

z2

ЗАДАЧА ГЕРЦА. Герц сформулировал условия, которым должны удовлетворять нормальные перемещения на поверхностях тел. Допущения

1.область контакта имеет эллиптическую форму.

2.каждое тело может рассматриваться как упругое полупространство, нагруженное по малой эллиптической области на его поверхности. Тогда контактные напряжения вблизи зоны контакта исследуются независимо от общего распределения напряжений в контактирующих телах.

17

Допущения справедливы, если выполняются два условия

– размеры области контакта должны быть малыми по сравнению: 1) с размерами каждого из контактирующих тел и 2) с радиусами кривизны их поверхностей.

Согласно первому условию, поле напряжений, возникшее в зоне контакта, не влияет на напряженное состояние тел вдали от этой зоны.

Согласно второму условию, поверхности вне зоны контакта, но вблизи нее, считаются плоскими, а деформации в зоне контакта малыми.

1.Поверхности тел гладкие: a R.

2.Деформации малы: a < R.

3.Каждое из контактирующих тел рассматривается как упругое полупространство: a R1, a R2, a l.

4.Трение отсутствует qx = qy = 0.

18

Обозначим характерный размер области контакта через а, а характерные размеры тел в боковом направлении и вдоль оси сжатия через l.

Задача – определить напряжения в области контакта тел

простейший случай контакта тел вращения, для которых

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1

R1

R1, R2

R2 R2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B = (1/R1 + 1/R2)/2 Граничное условие для перемещения в

 

 

области контакта примет вид

uz1

 

z2 r2 /(2R),

 

(9.3)

 

u

 

 

1/R = (1/R1 + 1/R2)– относительная кривизна. Условию (9.3)

 

 

удовлетворяет распределение давления

 

 

p p0

1 r2 / a2

1/ 2(*)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

p

 

 

 

 

 

которое вызывает нормальные перемещения

uz

 

 

 

4a0 2a2

r2 ,

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

Введем приведенный модуль упругости E* по определению

1

 

 

 

 

 

 

1

и подставим выражения для

 

 

 

и

 

в условие (9.3), в

 

 

E

E1

uz1

uz2

 

 

 

 

 

 

результате получим

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p0

2a2

r2

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

2R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4aE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r a.

1 22

E2

19

откуда находим радиус области контакта

a p0R / 2E

 

 

(9.4)

 

 

и сближение удаленных точек двух тел

ap0 / 2E

 

(9.5)

Полная сжимающая нагрузка связана с давлением и определяется

соотношением

a

2

p a2.

(9.6)

 

P p(r)2 rdr

 

 

 

0

3

0

 

 

 

 

 

В практических задачах чаще задается полная нагрузка, поэтому удобнее пользоваться выражениями, определяемыми из соотношений (9.4) – (9.6) в таком виде:

 

3PR 1/ 3

 

a2

9P2

1/ 3

;

 

 

3P

6PE 2

1/ 3

a

 

 

;

 

 

 

 

 

 

p0

 

 

 

 

.

 

 

 

2

 

 

 

 

R

 

16RE

 

 

2 a2

3R2

 

4E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Они дают значения размера области контакта, сближения тел и максимального давления.

20

Напряжения от давления в точках нагруженной поверхности тел определяются по формулам, E* приведенный модуль упругости

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

3 / 2

 

 

 

2

1/ 2

r

 

1 2 a

 

r

 

 

r

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

1

 

2

 

 

 

2

,

p0

 

3

 

r

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 a2

 

 

 

 

3 / 2

 

 

 

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

r

2

 

 

 

r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

 

 

 

 

 

2 1

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

p0

 

 

3 r

 

 

 

a

2

 

 

 

a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

r

2

1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p0

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для точек вне нагруженной области радиальные напряжения растягивающие

 

 

1 2 a2

 

r

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

r2

p0

p0

3

 

 

Напряжения на оси z вычисляют, рассмотрев элементарное

кольцо радиуса r, на которое действуют сосредоточенные силы.

r

1

1

z

 

a

 

 

1

 

 

z

2

1

arctg

 

1

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

p0

p0

 

 

 

 

 

 

2

 

a

 

 

 

a

 

z

 

 

 

 

 

z

 

z

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p0

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

1,5

i / p0

 

z/p0

1,0

0,5

 

 

/p0

a

r

 

r/p0

Рис. 9.3. Эпюры напряжений на поверхности тела, вызванные герцевским давлением, действующим по круговой области радиуса a

На рис. 9.3 показано распределение напряжений на поверхности тела вдоль радиуса. В области контакта они всюду сжимающие, за исключением края области контакта, где радиальное напряжение является растягивающим и имеет максимальное значение (1 – 2 )p0 /3. Это

наибольшее растягивающее напряжение во всем теле, и именно оно ответственно за образование кольцевых трещин, которые наблюдаются при взаимном сжатии двух контактирующих тел из хрупких, в частности стеклообразных, материалов. В центре области контакта радиальное напряжение сжимающее и имеет величину (l + 2 ) p0 /2. Вне области

контакта радиальные и окружные напряжения имеют равные величины и являются растягивающими и сжимающими соответственно.

22

0

-0,5 -1,0

-1,5 i / p0

 

1 / p0

r / p0

1

 

/ p0

 

z / p0

 

2

 

 

3

z / a

Рис. 9.4. Эпюры напряжений

вдоль оси симметрии тела,

вызванные герцевским давлением, действующим по круговой области радиуса a

Нормальные напряжения в точках, расположенных под поверхностью тела на оси z, являются главными напряжениями.

Главное напряжение 1 – растягивающее

вблизи поверхности. Окружное напряжение2 становится растягивающим на глубине z = 1,7a от поверхности. Напряжение 3

всюду сжимающее. Для механики контактного разрушения также важным является знание величины максимальных касательных напряжений. Максимальное касательное напряжение τ1 равное модулю полуразности главных напряжений τ1 = 1/2 r -– , достигает значения 0,47P/( a2) =

0,31p0 на глубине в точке z = 0,57a (для значения коэффициента Пуассона ν = 0,3). Это – наибольшее значение τ1 во всем теле, которое превышает касательное напряжение в начале координат, равное 1/2│σz – σr│ ≈ 0,10 p0, а также касательное напряжение на поверхности на краю области контакта, равное 1/2│σr – σθ│≈ 0,13 p0. Поэтому пластическое течение возникает в подповерхностных слоях контактирующих

тел.

23

Адгезия упругих тел

Между двумя контактирующими телами по поверхности раздела может возникать не только взаимное сжатие, но и сопротивление усилиям отрыва.

В результате скомпенсированности сил притяжения и отталкивания между отдельными атомами и молекулами обоих тел две идеально плоские твердые поверхности будут отстоять друг от друга на некоторое равновесное расстояние z0.

При расстояниях, меньших z0, они взаимно отталкиваются, а при расстояниях, больших z0, притягиваются.

Изменение силы на единицу площади в зависимости от расстояния z между поверхностями обычно представляется функцией (m n )

p(z) Az n Bz m,

24

Отталкиваие

p

 

 

 

Притяжение

z0

 

2

z

 

Рис. 9.5.. Кривая “сила– сближение” и поверхностная энергия (заштрихованная область) для идеальных поверхностей

Эта кривая показана на рис. 9.5, где сжатие (отталкивание) считается положительным. С этой точки зрения для разделения поверхностей (преодоления адгезионного сцепления) необходимо приложить усилия отрыва. Величина максимальных усилий отрыва достаточно велика, но эффективные пределы адгезионного взаимодействия достаточно малы .

25

Соседние файлы в папке КиБМ (Степанов С.К. и Лобачева Д.А.)
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности