2.5 Обработка результатов эксперимента методом регрессионного анализа
В пассивном эксперименте исходная информация о функционировании сложной системы может быть получена путем непрерывной или дискретной фиксации уровней исследуемых входных факторов и выходных параметров системы в условиях ее нормального функционирования. В данном случае, как уровни, так и сочетания уровней всех входных факторов в каждый момент времени будут являться случайными величинами. Случайными величинами будут являться выходные параметры системы. При проведении пассивного эксперимента исследователь каждому сочетанию уровней всех входных факторов должен поставить в соответствие текущий уровень выходных параметров системы. Полученная информация представлена в виде таблицы 2.1.
Таблица 2.1 – Результаты пассивного эксперимента
Опыты |
Входные параметры |
Выходные параметры |
|||||||||
|
… |
|
… |
|
|
… |
|
… |
|
||
1 |
|
… |
|
… |
|
|
… |
|
|
|
|
2 |
|
… |
|
… |
|
|
… |
|
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
j |
|
… |
|
… |
|
|
… |
|
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
N |
|
… |
|
… |
|
|
… |
|
|
|
|
Входные параметры системы стохастически связаны с входными параметрами . В общем виде эту связь можно представить выражением:
(2.30)
где - аддитивная помеха, то есть величина, учитывающая случайные ошибки измерений, случайные шумы, влияние неучтенных факторов.
Данную аналитическую зависимость принято называть математической моделью системы, полученной по результатам пассивного эксперимента.
Так как уровни
входных факторов, полученных при
испытаниях, как правило, имеют различный
порядок, то для упрощения вычислений
все ячейки таблицы 2.1 необходимо
отцентрировать и, кроме того, целесообразно
добавить первый столбец (
- фиктивный столбец), состоящий из единиц.
Тогда таблица результатов эксперимента
примет окончательный вид (таблица 2.2).
Таблица 2.2 – Результаты пассивного эксперимента
Опыты |
|
Входные параметры |
Выходные параметры |
|||||||||
|
|
… |
|
… |
|
|
… |
|
… |
|
||
1 |
1 |
|
… |
|
… |
|
|
… |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
… |
|
… |
|
|
… |
|
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
j |
1 |
|
… |
|
… |
|
|
… |
|
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
N |
1 |
|
… |
|
… |
|
|
… |
|
|
|
|
В таблице 2.2
(2.31)
Очевидно, что ошибка в j-м опыте, которая будет характеризировать точность подбираемой модели системы, может быть записана в виде:
,
(2.32)
где
- величина выходного параметра системы,
полученная по результатам эксперимента
в
;
- величина выходного
параметра системы, рассчитанная для
j-го
опыта по подобранной математической
модели.
Целесообразно так подобрать математическую модель, чтобы по всем опытам выполнялось условие:
(2.33)
Так как подбираемая
по результатам эксперимента математическая
модель системы, как правило, по своему
виду не имеет ничего общего с природой
процессов, происходящих в системе, то
в качестве функции
целесообразно выбирать простые
аналитические зависимости.
В инженерной практике наиболее распространены три вида уравнений регрессии:
- линейное
(2.34)
неполноквадратичное
(2.35)
полноквадратичное
(2.36)
где
любой коэффициент уравнения регрессии
определяется как
(2.37)
После расчета коэффициентов полученное уравнение приближенной регрессии подвергается статистическому анализу.
При этом оценивают ошибку от замены истинной регрессии приближенной и проверяют значимость всех слагаемых найденного уравнения в сравнении со случайной ошибкой наблюдений. Данный комплекс мероприятий носит название «регрессионного анализа».
Проведение регрессионного анализа возможно только при выполнении следующих предпосылок.
Ошибка измерения входных факторов
равна нулю. Данное категорическое
требование, конечно, никогда не может
быть выполнено в полной мере. Его
следует понимать таким образом, что
фактор, вносимый случайными ошибками
измерения факторов
в дисперсию воспроизводимости
эксперимента, должен быть пренебрежимо
мал по сравнению с действием других
неконтролируемых факторов, образующих
ошибку эксперимента.Аддитивная помеха (шум эксперимента) является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием
и постоянной дисперсией
.
Значение помехи
в различных наблюдениях являются
некоррелированными величинами.При наличии параллельных опытов оценки дисперсий выходного параметра
должны быть однородны. Однородность
оценок дисперсий при одинаковом числе
параллельных опытов для каждой серии
реализаций проверяют по критерию
Кохрена, а при разном – по критерию
Бартлетта.
Результаты наблюдений над выходной величиной
представляют собой независимые,
нормально распределенные случайные
величины. Данное требование не является
безусловным, так как метод наименьших
квадратов можно применять для определения
коэффициентов уравнения регрессии,
если даже нет нормального распределения
,
но при это уже ничего нельзя сказать о
его эффективности, особенно при выборках
малого объема. Поэтому целесообразно
попытаться преобразовать случайную
величину к нормальному закону.
Выполнение
основных предпосылок возможности
проведения регрессионного анализа
предопределено порядком проведения
эксперимента. Так как эксперимент
вычислительный, то ошибка фиксации
(измерения) значений входных исследуемых
факторов равна нулю. «Шум» эксперимента
является случайной величиной,
распределенной по нормальному закону
с параметрами
,
так как разброс метеофакторов моделировался
нормальным законом распределения.
Следовательно, и выходной параметр D
также будет подчиняться нормальному
закону распределения. Таким образом,
следует проверить предпосылку –
однородность оценок дисперсии выходного
параметра.
Проверка предпосылки фактически сводится к проверке постоянства дисперсии «шума»:
(2.38)
Считается, что это условие выполнено, если справедлива гипотеза
(2.39)
Проверка
данной гипотезы при конкурирующей
хотя бы одна дисперсия
не равна остальным, для одинакового
числа параллельных опытов в каждой
точке плана эксперимента, производится
с помощью критерия Кохрена. Статистика
G
этого критерия имеет вид
(2.40)
С
целью проверки нулевой гипотезы
по таблице значений G-критерия
выбирают его критическое значение для
заданного уровня значимости
,
числа степеней свободы
и числа суммируемых оценок дисперсий,
равного N.
Сравнивают расчетное и табличное значение G-критерия. Если выполняется условие (2.41)
(2.41)
то гипотеза об однородности ряда выборочных дисперсий выходного параметра не отвергается. Это означает, что для значимых различий и в качестве оценки дисперсии воспроизводимости эксперимента можно взять среднюю дисперсию, то есть
(2.42)
Статистический анализ уравнения регрессии начинается с проверки адекватности полученного уравнения приближенной регрессии результатам эксперимента.
В общем случае гипотеза об адекватности должна быть принята, если выполняется условие
(2.43)
где
– табличное значение критерия Фишера
при уровне значимости
и числа степеней свободы числителя
и
;
-
остаточная дисперсия, обусловленная
влиянием неучтенных факторов и ошибками
измерений в ходе проведения эксперимента;
-
дисперсия воспроизводимости,
характеризующая рассеивание значений
выходного параметра
при повторении одного и того же опыта,
при одном и том же сочетании уровней
факторов.
Однако, при выполнении пассивного эксперимента, вследствие трудности повторения опытов при неизменных условиях функционирования системы, получение дисперсии воспроизводимости становится практически невозможным.
В рассматриваемых условиях для проверки адекватности целесообразно воспользоваться эмпирической зависимостью
(2.44)
где
- оценка дисперсии выходного параметра
;
- остаточная дисперсия.
Оценки дисперсии рассчитываются по следующим формулам:
(2.45)
(2.46)
(2.47)
где - оценка выходного параметра, вычисленная для j-го опыта по заданному уравнению регрессии.
Если условие (2.44) выполняется, то гипотезу об адекватности полученного уравнения приближенной регрессии результатам пассивного эксперимента следует принять. В противном случае, при неизменном составе входных факторов, следует выдвинуть конкурирующую гипотезу о нелинейном виде математической модели и весь процесс вычислений повторить для получения модели в виде неполного квадратного или полного квадратного полинома. Так, повышая постепенно степень полинома, можно получить в конечном итоге адекватную математическую модель.
После
получения адекватной модели переходят
ко второму этапу статистического
анализа. На данном этапе производится
селекция входных факторов, суть которой
заключается в следующем. На величину
входного параметра системы, как правило,
существенно влияет лишь часть из всей
совокупности
включенных в фактор экспериментов. Для
выявления незначимых факторов производится
проверка значимости всех коэффициентов
регрессии
с помощью t-критерия
Стьюдента.
Факторы, для которых выполняется условие
(2.48)
где
- табличное значение критерия Стьюдента
для уровня значимости
и числа степеней свободы
;
-
оценка среднеквадратического отклонения
i-го
коэффициента регрессии.
Процесс отбрасывания незначимых коэффициентов последовательно повторяется до тех пор, пока в адекватном уравнении останутся только значимые коэффициенты регрессии.
2.5 Обработка аномальных результатов испытаний
Каждый результат
измерения – случайная величина.
Отклонение реального результата от
истинного – ошибка. Ошибка наблюдения
также есть случайная величина – она
является результатом действий только
случайных (неучитываемых) факторов.
Если обозначить истинный результат
через а,
ошибку – через
,
результат измерения – через X,
то
(2.49)
Различают ошибки трех видов:
Грубые ошибки возникают вследствие нарушений основных условий измерения. Результат, содержащий грубую ошибку, резко отличается по величине от остальных измерений. На этом основаны некоторые критерии исключения грубых ошибок.
Систематические ошибки постоянны по всей серии измерений или изменяются по определенному закону. Выявление их требует специальных исследований, но как только систематические ошибки обнаружены, они могут быть легко устранены введением соответствующих поправок в результаты измерения.
Случайные ошибки – ошибки измерения, остающиеся после устранения всех выявленных грубых и систематических ошибок. При таком определении к случайным факторам, порождающим случайную ошибку, не относят факторы с постоянным действием (систематические ошибки) и факторы с однократным, но очень сильным действием (грубые ошибки). Случайные ошибки вызываются большим количеством таких факторов, эффекты действия которых столь незначительны, что их нельзя выделить в отдельности (при данном уровне техники измерения). При этом распределение случайных ошибок симметрично относительно нуля: ошибки, противоположные по знаку, но равные по абсолютной величине, встречаются довольно часто.
Измерения делят
на прямые и косвенные. В первом случае
непосредственно измеряется определяемая
величина, при косвенных измерениях она
задается некоторой функцией от
непосредственно измеряемых величин.
Пусть случайная величина z
зависит от наблюдений
по известному закону:
.
(2.50)
Истинное значение
величины z
может не
совпадать с математическим ожиданием
,
а определяться тем же законом
.
(2.51)
Величина
называется средним косвенного измерения.
Дисперсия косвенного
измерения
определяется так же, как обычная
дисперсия, только отклонения берутся
от среднего косвенного измерения
.
Ее можно найти, зная дисперсии отдельных
наблюдений и вид функции f.
На практике определяют выборочные
дисперсии
,
и по ним выборочную дисперсию определяют
косвенного измерения
,
которая служит оценкой генеральной
дисперсии
.
Чтобы найти
,
разложим функцию
в ряд Тейлора в точке
,
ограничиваясь членами первого приближения
(2.52)
и определим по закону сложения дисперсий:
(2.53)
Актуальность решения задачи обусловлена двумя причинами практического характера:
с одной стороны, при обработке результатов испытаний должны быть исключены резко выделяющиеся наблюдения, которые можно классифицировать как грубые ошибки эксперимента (аномальные наблюдения, выбросы).
с другой стороны, отклонения в результатах испытаний могут свидетельствовать о процессах деградации объекта испытаний, имеющих конкретную физическую природу.
Существует несколько статистических критериев, устанавливающих пределы для исключения из выборки резко выделяющихся чисел.
Если результаты испытаний подчинены нормальному закону, то при относительно небольших объемах выборки применяется критерий Диксона.
Критерий основан
на предположении, что погрешности
измерений подчиняются нормальному
закону (предварительно необходимо
построение гистограммы результатов
наблюдений) и проверка гипотезы о
принадлежности нормальному закону
распределения. При использовании
критерия вычисляют критерий Диксона
(наблюдаемое значение критерия) для
проверки наибольшего или наименьшего
экстремального значения в зависимости
от числа измерений. В таблице 2.3 приведены
формулы для вычисления коэффициентов.
Коэффициент
применяют,
когда имеется один выброс, а
- когда два выброса. Требуется первоначальное
упорядочение результатов измерений
(объема выборки). Критерий применяется,
когда выборка может содержать более
одной грубой погрешности.
Таблица 2.3 – Формулы коэффициентов Диксона
Число измерений n (объем выборки) |
Коэффициент Диксона |
Для наименьшего экстремального значения параметра |
Для наибольшего экстремального значения параметра |
3-7 |
|
|
|
8-10 |
|
|
|
11-13 |
|
|
|
14-25 |
|
|
|
Вычисленные для выборки по формулам значения коэффициентов Диксона r сравнивают с принятым(табличным) значением критерия Диксона rq (таблица 2.4).
Нулевая
гипотеза об отсутствии грубой погрешности
выполняется, если выполняется неравенство
.
Если
,
то результат признается грубой
погрешностью и исключается из дальнейшей
обработки.
Если результаты наблюдений не подчиняются нормальному закону или закон распределения их вообще не известен, то значимость аномального результата устанавливается по критерию Ирвина.
Для ранжированных экспериментальных данных определяют коэффициент по формуле:
(2.54)
где
- наибольшие значения случайной величины;
- среднеквадратическое
отклонение, вычисленное по всем значениям
выборки.
Затем этот
коэффициент сравнивается с табличным
значением
,
возможные значения которого приведены
в таблице 2.5.
Если
,
то нулевая гипотеза не подтверждается,
то есть результат ошибочный, и он должен
быть исключен при дальнейшей обработке
результатов наблюдений.
Таблица 2.4 – Критериальные значения коэффициентов Диксона (при принятом уровне значимости q)
Статистика |
Число измерений |
rq при уровне значимости q |
|||
0,1 |
0,05 |
0,02 |
0,02 |
||
|
3 |
0,886 |
0,941 |
0,976 |
0,988 |
4 |
0,679 |
0,765 |
0,846 |
0,899 |
|
5 |
0,557 |
0,642 |
0,729 |
0,780 |
|
6 |
0,482 |
0,560 |
0,644 |
0,698 |
|
7 |
0,434 |
0,507 |
0,589 |
0,637 |
|
|
8 |
0,479 |
0,554 |
0,631 |
0,683 |
9 |
0,441 |
0,512 |
0,587 |
0,636 |
|
10 |
0,409 |
0,477 |
0,551 |
0,597 |
|
|
11 |
0,517 |
0,576 |
0,538 |
0,679 |
12 |
0,490 |
0,546 |
0,605 |
0,642 |
|
13 |
0,467 |
0,521 |
0,578 |
0,615 |
|
|
14 |
0,462 |
0,546 |
0,602 |
0,641 |
15 |
0,472 |
0,525 |
0,579 |
0,616 |
|
16 |
0,452 |
0,507 |
0,559 |
0,595 |
|
17 |
0,438 |
0,490 |
0,542 |
0,577 |
|
18 |
0,424 |
0,475 |
0,527 |
0,561 |
|
19 |
0,412 |
0,462 |
0,514 |
0,547 |
|
20 |
0,401 |
0,450 |
0,502 |
0,535 |
|
21 |
0,391 |
0,440 |
0,491 |
0,524 |
|
22 |
0,382 |
0,430 |
0,481 |
0,514 |
|
23 |
0,374 |
0,421 |
0,472 |
0,505 |
|
24 |
0,367 |
0,413 |
0,464 |
0,497 |
|
25 |
0,360 |
0,406 |
0,457 |
0,489 |
|
Таблица 2.5 – Критерий Ирвина
Число измерений n |
Уровень значимости |
|
q=0,05 |
q=0,01 |
|
1 |
2 |
3 |
2 |
2,8 |
3,7 |
3 |
2,2 |
2,9 |
10 |
1,5 |
2,0 |
20 |
1,3 |
1,8 |
30 |
1,2 |
1,7 |
50 |
1,1 |
1,6 |
100 |
1,0 |
1,5 |
400 |
0,9 |
1,3 |
1000 |
0,8 |
1,2 |
Таким образом, методика выявление аномальных результатов наблюдений, появление которых в выборке обусловлено случайными причинами (не закономерно), сводится к следующему:
ранжируют результаты наблюдений;
в зависимости от ранее полученной информации о законе распределения результатов испытаний проверку гипотезы значимости отклонения аномальных результатов проводят по критерию Диксона, Ирвина или Романовского;
если установлено, что аномальное наблюдение обусловлено причиной, то его из выборки исключат;
оставшуюся часть выборки подвергают проверке до тех пор, пока не будут исключены все аномальные результаты.
3 Формирование выборок, отражающих полученные для объекта испытаний значения результатов испытаний
Необходимость автоматизации лабораторной установки или стенда может возникать на различных жизненных циклах их существования. Наиболее правильный вариант предусматривает решение задачи автоматизации на самом раннем этапе – когда стенд или установка еще не существуют в металле, а имеются лишь какие-то задумки, воплощенные (или частично воплощенные) на бумаге. Но в жизни более часто встречается вариант, когда стенд или установка уже существуют и работают, при этом они исправно выполняют свои функции, причем вполне добротное (а зачастую и физически) устаревшими средствами измерения и контроля, используются примитивные средства управления установкой. Получение результата на таких установках сопряжено с большим объемом работ и огромной трудоемкостью. Задача автоматизации на таких стендах часто заключается не только в замене устаревшего оборудования управления и контроля на современное, но и в замене алгоритмов управления и сбора информации, последующей обработке полученной информации и формировании на основании полученной информации управляющего решения. Все эти современные технологии имеют универсальный механизм реализации, заключающийся в том, что основным «мозговым» центром, куда стекается вся собираемая со стенда информация, происходит ее обработка, формируются управляющие сигналы, является компьютер, включаемый в состав стенда.
Соответственно, задача автоматизации стенда распадается на ряд типовых процедур:
1. Получение компьютером информации со стенда об интересующих параметрах
2. Выполнение определенных действий с полученной информацией – расчет каких-либо характеристик
3. Формирование управляющего воздействия в виде некоторого сигнала и его передача на стенд
4. Преобразование сигнала управляющего воздействия в некоторое конкретное физическое действие (включение или отключение какого-то элемента, переключение на другой режим и т.д.).
Одним из важных поводов, побуждающих к проведению автоматизации какого-либо стенда, является желание мгновенного получения результатов. Это могут быть какие-либо характеристики, рассчитываемые по измеряемым параметрам. Аналогично, в процессе испытаний могут быть получены достаточно сложно рассчитываемые характеристики. В некоторых случаях не требуется получение характеристик в численном виде – результатом испытаний должен стать вывод о пригодности испытуемого объекта.
Другими словами, требуется определить, вписываются ли характеристики испытуемого объекта в требуемый диапазон. Эта задача также может быть решена на этапе расчета характеристик.
При проведении электрических испытаний летательных аппаратов имеет место проблема воспроизводимости, в связи с чем появляется необходимость расчета, нормирования и оценки расхождения результатов таких испытаний. При этом под воспроизводимостью результатов понимают такое их свойство, когда каждый повторный результат статистически незначимо отличается от предыдущего. Одной из задач этой проблемы является выбор и стандартизация показателей воспроизводимости результатов элктрических испытаний.
Обосновано предположение об индивидуальности распределений результатов электрических испытаний. Действительно, так как в зависимости от вида электрических испытаний, т.е. от того, где , в каких условиях и какой вид электрических испытаний проводится (в одной и той же лаборатории, в одинаковых условиях, одними и теми же методами, средствами и испытателями или в различных лабораториях, в различных условиях, различными средствами и методами, проверка электрической прочности изоляции, проверка сопротивления испытаний), результаты этих испытаний могут иметь различное распределение или при одинаковых видах распределения — существенно различные параметры. А это означает статистическую неоднородность получаемых при испытаниях результатов. Поэтому оценка воспроизводимости должна сводиться к известной в статистике задаче проверки гипотезы о тождественности законов распределений — гипотезы однородности результатов, а показатели воспроизводимости целесообразно искать среди мер близости законов распределений этих результатов (так называемых критериев однородности).
В результате проведения статических испытаний получены следующие выборки:
4 Построение графиков динамики показателей по полученным данным
График 4.1 – Зависимость нагрузки от длины
График 4.2 – Зависимость нагрузки от длины
На графиках 4.1, 4.2 изображена зависимость нагрузки от длины. Анализируя графики можно сказать, что пиковые скачки соответствуют при повышенном нагрузки происходит растяжение материала.
5 Вычисление показателей итоговой статистики по полученным данным
К показателем математической статистики относятся математическое ожидание и дисперсия, которые определяются по формулам (2.1) и (2.2).
М1=2,125
М2= 2,267
S1=21,68
S2=8,22
Средние значения интервалов по выборкам:
6 Определение объема необходимых испытаний при заданном допустимом отклонении и доверительной вероятности
При уровне значимости гипотез – α принимается равным 0.05. Погрешность – ε= 0,7 %
По результатам испытаний получено 2 выборки по 20 контрольных точек в каждой в зависимости от нагрузки.
По результатам каждой из первых трех выборок относительно первой выборки размер представительной (репрезентативной) определяется по критерию оценки математического ожидания выборки. Используется критерий Стьюдента (2.3) [5]
Условие выполняется, принятый размер выборки (n) не удовлетворяет решению задачи и должен быть увеличен размер выборки (с 8 до 19).
Условие выполняется, принятый размер выборки (n) не удовлетворяет решению задачи и размер выборки дальше не может быть увеличен. Необходимо увеличить количество точек измерения для получения достоверных результатов.