8.3. Задачи для самостоятельного решения

701. Невозбужденный атом водорода поглощает квант излучения с длиной волны λ = 102,6 нм. Вычислить, пользуясь теорией Бора, радиус r электронной орбиты возбужденного атома водорода.

702. Вычислить по теории Бора радиус r₂ второй стационарной орбиты и скорость υ₂ электрона на этой орбите для атома водорода.

703. Вычислить по теории Бора период Т вращения электрона в атоме водорода, находящегося в возбужденном состоянии, определяемом главным квантовым числом n = 2.

704. Определить изменение энергии ΔΕ электрона в атоме водорода при излучении атома фотона с частотой ν = 6,28·10¹⁴ Гц.

705. Во сколько раз изменится период Т вращения электрона в атоме водорода, если при переходе в невозбужденное состояние атом излучил фотон с длиной волны λ = 97,5 нм.

706. На сколько изменилась кинетическая энергия электрона в атоме водорода при излучении атомом фотона с длиной волны λ = 435 нм.

707. В каких пределах Δλ должна лежать длина волн монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода квантами этого света радиус r_n орбиты электрона увеличился в 16 раз.

708. В однозарядном ионе лития электрон перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить длину волны λ излучения, испущенного ионом лития.

709. Электрон в атоме водорода находится на третьем энергетическом уровне. Определить кинетическую Т, потенциальную П и полную Е энергию электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах.

710. Фотон выбивает из атома водорода, находящегося в основном состоянии, электрон с кинетической энергией Т = 10 эВ. Определить энергию ε фотона.

711. Вычислить наиболее вероятную дебройлевскую длину волны λ молекул азота, содержащихся в воздухе при комнатной температуре.

712. Определить энергию ΔТ, которую необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от λ₁ = 0,2 мм до λ₂ = 0,1 нм.

713. На сколько по отношению к комнатной должна измениться температура идеального газа, чтобы дебройлевская длина волны λ его молекул уменьшилась на 20%?

714. Параллельный пучок монохроматических электронов падает нормально на диафрагму в виде узкой прямоугольной щели, ширина которой а = 0,06 мм. Определить скорость этих электронов, если известно, что на экране, отстоящем от щели на расстоянии l = 40 мм, ширина центрального дифракционного максимума b = 10 мкм.

715. При каких значениях кинетической энергии Т электрона ошибка в определении дебройлевской длины волны λ по нерелятивистской формуле не превышает 10%.

716. Из катодной трубки на диафрагму с узкой прямоугольной щелью нормально к плоскости диафрагмы направлен поток моноэнергетических электронов. Определить анодное напряжение трубки, если известно, что на экране, отстоящем от щели на расстоянии l = 0,5 м, ширина центрального дифракционного максимума Δx = 10 мкм. Ширину b щели принять равной 0,1 мм.

717. Протон обладает кинетической энергией Т = 1кэВ. Определить дополнительную энергию ΔТ, которую необходимо ему сообщить для того, чтобы длина волны λ де Бройля уменьшилась в три раза.

718. Определить длины волн де Бройля α-частицы и протона, проходящих одинаковую ускоряющую разность потенциалов U = 1 кВ.

719. Электрон обладает кинетической энергией Т = 1,02 МэВ. Во сколько раз изменится длина волны де Бройля, если кинетическая энергия Т электрона уменьшится вдвое.

720. Кинетическая энергия Т электрона равна удвоенному значению его энергии покоя (2m₀с²). Вычислить длину волны λ де Бройля для такого электрона.

721. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию электрона, движущегося внутри сферы радиусом R = 0,05 нм.

722. Используя соотношение неопределенностей, оценить наименьшие ошибки Δυ в определении скорости электрона и протона, если координаты центра масс этих частиц могут быть установлены с неопределенностью 1 мкм.

723. Какова должна быть кинетическая энергия Т протона в моноэнергетическом пучке, используемого для исследования структуры с линейными размерами l ≈ 10^-13 см?

724. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину l одномерного потенциального ящика, в котором минимальная энергия электрона E_min = 10 эВ.

725. Альфа-частица находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину l ящика, если известно, что минимальная энергия α-частицы E_min= 8 МэВ.

726. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет Δl ≈ 10^-8 с. При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя длина волны <λ> которого равна 600 нм. Оценить ширину Δλ излучаемой спектральной линии, если не происходит ее уширения за счет других процессов.

727. Для приближенной оценки минимальной энергии электрона в атоме водорода можно предположить, что неопределенность Δr радиуса r электронной орбиты и неопределенность Δp импульса p электрона на такой орбите соответственно связаны следующим образом: Δr ≈ r и Δp ≈ p. Используя эти связи, а также соотношение неопределенностей, найти значение радиуса электронной орбиты, соответствующего минимальной энергии электрона в атоме водорода.

728. Моноэнергетический пучок электронов высвечивает в центре экрана электронно-лучевой трубки пятно радиусом r ≈ 10^-3 см. Пользуясь соотношением неопределенностей, найти, во сколько раз неопределенность ∆х координаты электрона на экране в направлении, перпендикулярном оси трубки, меньше размера r пятна. Длину L электронно-лучевой трубки принять равной 0,50 м, а ускоряющее электрон напряжение U – равным 20 кВ.

729. Среднее время жизни ∆t атома в возбужденном состоянии составляет около 10^-8 с. При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя длина волны <λ> которого равна 400 нм. Оценить относительную ширину Δλ/λ излучаемой спектральной линии, если не происходит уширения линии за счет других процессов.

730. Для приближенной оценки минимальной энергии электрона в атоме водорода можно предположить, что неопределенность Δr радиуса r электронной орбиты и неопределенность Δp импульса p электрона на такой орбите соответственно связаны следующим образом: Δr ≈ r и Δp≈ p. Используя эти связи, а также соотношение неопределенностей, определить минимальное значение энергии Т_min электрона в атоме водорода.

731. Частица находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике. Найти отношение разности ∆Е_n.n+1 соседних энергетических уровней к энергии Е_n частицы в трех случаях: 1) n = 2; 2) n = 5; 3)n→ ∞.

732. Электрон находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной l = 0,1 нм. Определить в электрон-вольтах наименьшую разность энергетических уровней электрона.

733. Частица в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной l находится в возбужденном состоянии (n=3). Определить, в каких точках интервала 0 < x < l плотность вероятности нахождения частицы имеет максимальное и минимальное значения.

734. Решение уравнения Шредингера для бесконечно глубокого одномерного прямоугольного потенциального ящика можно записать в виде , где . Используя граничные условия и нормировку Ψ - функции, определить: 1) коэффициенты С₁ и С₂; 2) собственные значения энергии E_n. Найти выражение для собственной нормированной Ψ – функции.

735. Частица в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность ω обнаружения частицы в крайней четверти ящика?

736. Волновая функция, описывающая движение электрона в основном состоянии атома водорода, имеет вид , где А – некоторая постоянная; а₀ – первый боровский радиус. Найти для основного состояния атома водорода наиболее вероятное расстояние электрона от ядра.

737. Частица находится в основном состоянии в прямоугольной яме шириной l с абсолютно непроницаемыми стенками. Во сколько раз отличаются вероятности местонахождения частицы: ω₁ – в крайней трети и ω₂ – в крайней четверти ящика?

738. Волновая функция, описывающая движения электрона в основном состоянии атома водорода, имеет вид , где А – некоторая постоянная, а₀ – первый боровский радиус. Найти для основного состояния атома водорода среднее значение кулоновской силы.

739. Электрон находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной l. В каких точках в интервале 0 <x <l плотности вероятности нахождения частицы на втором и третьем энергетических уровнях одинаковы? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Решение пояснить графиком.

740. Волновая функция, описывающая движения электрона в основном состоянии атома водорода, имеет вид , где А – некоторая постоянная, а₀ – первый боровский радиус. Найти для основного состояния атома водорода среднее значение потенциальной энергии.

741. Волновая функция, описывающая состояние электрона в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, имеет вид , l – ширина ямы. Определите среднее значение координаты электрона.

742. Радиальная часть волновой функции для электрона в состоянии 3d имеет вид , где м – первый боровский радиус. Вычислить расстояние, на котором радиальная составляющая вероятности местонахождения имеет максимум в этом случае.

743. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном, прямоугольном потенциальном ящике, шириной l. В каких точках в интервале (0 < x < l) плотности вероятности нахождения электрона на втором и третьем энергетических уровнях одинаковы? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Решение пояснить графиком.

744. В прямоугольной потенциальной яме шириной l с абсолютно непроницаемыми стенками (0 < x < l) находится частица в основном состоянии. Вычислить вероятность нахождения частицы в области .

745. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной l на втором энергетическом уровне. В каких точках ямы плотность вероятности обнаружения частицы совпадает с классической плотностью вероятности?

746. Частица находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике. Найти отношение разности соседних энергетических уровней к энергии E_n частицы в следующих случаях: 1) n=2; 2) n=5; 3) .

747. Волновая функция, описывающая движение электрона в основном состоянии атома водорода, имеет вид , где А – нормировочный коэффициент; м – первый боровский радиус. Найти для основного состояния атома водорода среднее значение кулоновской силы.

748. Протон с энергией 5 эВ движется в положительном направлении оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой 10 эВ и шириной 0,1 нм. Определите вероятность прохождения протоном этого барьера. Во сколько раз надо сузить барьер, чтобы вероятность прохождения его протоном была такой же, как для электрона при вышеприведенных условиях.

749. Определите энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на второй.

750. Максимальная длина волны спектральной водородной линии Лаймана равна 0,12 мкм. Предполагая, что постоянная Ридберга неизвестна, определите максимальную длину волны линии серии Бальмера.

751. Невозбужденный атом водорода поглощает квант излучения с длиной волны λ=102,6 нм. Вычислить, пользуясь теорией Бора, радиус r электронной орбиты возбужденного атома водорода.

752. Вычислить по теории Бора радиус r₂ второй стационарной орбиты и скорость v₂ электрона на этой орбите для атома водорода.

753. Определите изменение орбитального механического момента ΔL при переходе его из возбужденного состояния в основное с испусканием фотона с длиной волны м.

754. Электрон в атоме водорода находится на третьем энергетическом уровне. Определите кинетическую T, потенциальную П и полную E энергию электрона.

755. На дифракционную решетку с периодом d нормально падает пучок света от разрядной трубки, наполненной атомарным водородом. Оказалось, что в спектре дифракционный максимум k-го порядка, наблюдаемый под углом φ, соответствовал одной из линий серии Лаймана. Определите главное квантовое число, соответствующее энергетическому уровню, с которого произошел переход.

756. Используя теорию Бора, определите орбитальный магнитный момент электрона, движущегося по третьей орбите атома водорода.

(Ответ: p_m=2,8 ·10^-23 А·м² )

757. Во сколько раз изменится период Т вращения электрона в атоме водорода, если при переходе в невозбужденное состояние атом излучил фотон с длиной волны λ=97,5 нм?

758. Радиоактивный натрий распадается, выбрасывая β – частицы. Период полураспада натрия 14,8 ч. Вычислить количество атомов, распавшихся в 1 мг данного радиоактивного препарата за 10 ч.

759. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра .

760. Вычислить энергию ядерной реакции