4. Электростатика. Постоянный электрический ток

4.1. Основные формулы и понятия

Закон Кулона: сила электростатического взаимодействия двух точечных электрических зарядов, находящихся в вакууме прямо пропорциональна произведению этих зарядов (Q₁,Q₂), обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами (r) и направлена вдоль линии их соединяющей

,

(4.1)

г де ε₀ = 8,85·10^-12 Ф/м – электрическая постоянная, ε – диэлектрическая проницаемость среды.

Линейная плотность заряда

,

(4.2)

где dq – заряд, приходящий на единицу длины dl (рис.4.1).

Если заряды распределяются в телах только внутри тонкого слоя, прилегающего к поверхности, то удобно использовать поверхностную плотность заряда

,

(4.3)

где dq – заряд, находящийся на элементе поверхности ds (рис.4.1).

Объемная плотность электрических зарядов

,

(4.4)

где dq – заряд малого элемента заряженного тела объемом dV (рис.4.1).

Силовой характеристикой электростатического поля является напряженность. Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой , действующей на пробный единичный положительный заряд (т.е. заряд, который не вызывает перераспределение зарядов, создающих поле), помещенный в эту точку поля

(4.5)

Напряженность точечного заряда

,

(4.6)

где – радиус – вектор, проведенный от точечного заряда в исследуемую точку поля.

Рассмотрим электрическое поле двух точечных зарядов q₁ и q₂ (рис.4.2).

П усть – напряженность поля в точке а, создаваемая зарядом q₁ (без учета второго заряда), а - напряженность поля заряда q₂ (без учета первого заряда). Напряженность результирующего поля (при наличии обоих зарядов) может быть найдена по правилу сложения векторов (по правилу параллелограмма, рис. 4.2).

Напряженность электрического поля от нескольких зарядов находится по принципу суперпозиции электростатических полей, согласно которому напряженность результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности:

.

(4.7)

Принцип суперпозиции позволяет рассчитать электростатические поля любой системы неподвижных зарядов, поскольку если заряды не точечные, то их можно всегда свести к совокупности точечных зарядов.

Напряженность поля между пластинами конденсатора

,

(4.8)

где U – разность потенциалов между пластинами конденсатора, d – расстояние между ними.

Принцип суперпозиции применим для расчета электростатического поля электрического диполя. Электрический диполь – система двух равных по модулю разноименных зарядов (+Q, - Q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя l.

Вектор, совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению заряда q на плечо l, называется дипольным электрическим моментом

,

(4.9)

Величина дипольного момента в первом приближении прямо пропорциональна приложенному полю E.

Число силовых линий, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль n которой составляет угол α с вектором Е, определяет поток вектора электрической напряженности, т.е.

, (4.10)

где E_n – проекция вектора напряженности Е на нормаль n к площадке dS (рис. 4.3).

Для произвольной замкнутой поверхности S, поток вектора напряженности

(4.11)

Поток вектора напряженности зависит только от алгебраической суммы зарядов, охватываемых этой поверхностью, т.е.

(4.12)

Выражение (4.12) составляет суть теоремы Гаусса: поток вектора сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную .

Скачкообразное изменение вектора напряженности электрического поля и числа линий напряженности на границе диэлектриков создает ряд неудобств при расчете электрических полей. Поэтому вводят вспомогательное поле

. (4.13)

Вектор , равный произведению вектора напряженности электрического поля на абсолютную диэлектрическую проницаемость среды в данной точке, носит название вектора электрического смещения.

По теореме Гаусса поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность численно равен алгебраической сумме находящихся внутри этой поверхности зарядов

. (4.14)

Между потоком вектора электрического смещения и числом силовых линий напряженности имеется числовое равенство

, (4.15)

где ρ – объемная плотность зарядов, V – объем, в котором заключен заряд.

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя теорему Гаусса (4.15), определяющую поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность.

Рассмотрим примеры расчета электростатических полей в вакууме с использованием теоремы Гаусса.

Равномерно заряженная бесконечная плоскость создает однородное электростатическое, модуль напряженности которого равен

,

(4.16)

где σ – поверхностная плотность зарядов, ε – диэлектрическая проницаемость среды, ε₀ – электрическая постоянная.

Две равномерно, с одинаковой поверхностной плотностью, и разноименно заряженные бесконечные параллельные плоскости (например, плоский конденсатор) создают однородное электростатическое поле в пространстве между плоскостями с напряженностью, модуль которого равен

.

(4.17)

Если плоскость представляет собой диск радиусом R, то напряженность поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восстановленном из центра диска на расстоянии а от нее

(4.18)

Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно длинной нитью (или цилиндром)

,

(4.19)

где τ – линейная плотность заряда на нити, a – расстояние от нити до заряда. Если нить имеет конечную длину, то напряженность поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восстановленном из середины нити на расстоянии а от нее,

(4.20)

где Θ – угол между направлением нормали к нити и радиус – вектором, проведенным из рассматриваемой точки к концу нити.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого проводящей заряженной сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы

(4.21)

где Q – заряд сферы.

Работа электрического поля по перемещению заряда

(4.22)

Работа может быть представлена как разность значений потенциальных энергий заряда q в точках 1, 2

.

(4.23)

Потенциальная энергия заряда q в поле заряда Q определяется по следующей формуле

.

(4.24)

Потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке единичный заряд.

.

(4.25)

Потенциал поля точечного заряда Q, находящегося в точке на расстоянии r от него, равен

.

(4.26)

Если поле образовано несколькими точечными зарядами, то потенциал результирующего поля

,

(4.27)

где - потенциал поля, создаваемого отдельным зарядом.

Связь потенциала φ с напряженностью электрического поля:

(4.28)

Работа сил поля над зарядом может быть представлена через разность потенциалов

,

(4.29)

где U – разность потенциалов между двумя точками электрического поля.

Между зарядом и потенциалом проводника существует определенная взаимосвязь. Коэффициент пропорциональности между ними носит название электроемкости. Электроемкость проводника численно равна величине заряда, который нужно сообщить данному проводнику для увеличения его потенциала на единицу:

.

(4.30)

Емкость С шара радиусом R

С = 40R.

(4.31)

Емкость плоского конденсатора С равна

С = ,

(4.32)

где d – расстояние между обкладками конденсатора, S – площадь обкладок конденсатора.

Если диэлектриком является не вакуум, а вещество с диэлектрической проницаемостью , заполняющее все пространство, где имеется электрическое поле (пространство между обкладками), то емкость конденсатора

.

(4.33)

С целью увеличения ёмкости или рабочего напряжения очень часто конденсаторы собирают в батареи по несколько штук. Различают два простейших способов соединения: параллельное, когда все обкладки одной полярности соединяют вместе, и последовательное, когда вместе соединяют обкладки разных полярностей соседних конденсаторов (рис.4.4.).

При параллельном соединении каждый из конденсаторов независимо подключен к клеммам, поэтому напряжение на батарее равно напряжению на каждом (рис.4.4., а). Заряд батареи складывается из зарядов вместе соединенных пластин . Следовательно, общая емкость параллельно соединенных конденсаторов:

. (4.34)

В частном случае, когда емкости всех параллельно соединенных конденсаторов равны, общая емкость .

для последовательного соединения (рис.4.4., б) заряды на всех конденсаторах одинаковы, а напряжения складываются:

, ,

. (4.35)

В частности, для двух последовательно соединенных конденсаторов общая электроемкость , а для одинаковых конденсаторов .

Энергия электрического поля конденсатора

.

(4.36)

Электрический ток – это направленное движение электрических зарядов. Если количество зарядов, проходящее через заданную площадь в единицу времени, не меняется с течением времени, то такой ток называют постоянным. Величина, равная работе сторонних сил над положительным единичным зарядом, называется электродвижущей силой (ЭДС), действующей в цепи или на ее участке.

.

(4.37)

ЭДС, действующая в замкнутой цепи, может быть определена как циркуляция вектора напряженности поля сторонних сил

.

(4.38)

Величина, численно равная работе, совершаемой электростатическими и сторонними силами при перемещении положительного единичного заряда, называется падением напряжения или напряжением U на данном участке цепи.

(4.39)

Всякое устройство, в котором возникают сторонние силы, называется источником тока.

Линии, вдоль которых движутся заряженные частицы, называются линиями тока. Для количественной характеристики электрического тока служат две основные величины: плотность тока и сила тока. Плотность тока , определяется как количество зарядов, проходящих через единичную площадку, перпендикулярную вектору скорости:

(4.40)

где n –концентрация заряженных частиц; m – масса заряженных частиц, - электропроводностью материала, а величина обратная ей =1/ -удельным электросопротивлением.

Соотношение

(4.41)

носит название закона Ома в дифференциальной (векторной) форме.

Сила тока (I) в каком–либо проводнике равна заряду, проходящему в единицу времени через полное сечение проводника.

.

(4.42)

Если есть изменение за единицу времени положительного заряда, заключенного внутри замкнутой поверхности S, то

.

(4.43)

Это соотношение называется уравнением непрерывности.

Если однородный проводник имеет длину l и площадь поперечного сечения S, то закон Ома для такого проводника может быть записан в следующем виде.

,

(4.44)

где U – напряжение на концах проводника, а I – сила тока.

Величина R называется сопротивлением проводника, которое зависит от рода вещества проводника, от его геометрических размеров и форм, а также от состояния проводника.

,

(4.45)

где ρ – удельное сопротивление проводника, зависящее только от рода вещества, температуры и его состояния.

Зависимость удельного сопротивления ρ от температуры t можно охарактеризовать температурным коэффициентом сопротивления данного вещества:

.

(4.46)

Если ρ₀ есть удельное сопротивление при 0˚C, а ρ – его значение при температуре t˚C, то

.

(4.47)

С учетом этого уравнения сопротивление материала зависит от температуры следующим образом

(4.48)

Для соединения нескольких проводников величина общего сопротивления R₀ находится по правилам: для последовательного соединения

,

(4.49)

а для параллельного

.

(4.50)

Если на рассматриваемом участке имеется источник тока с ЭДС , то, общее напряжение складывается из разности потенциалов и ЭДС, т.е.

.

(4.51)

Это соотношение между током и напряжением носит название закона Ома для участка цепи, содержащей ЭДС. Важно учитывать правило знаков: считается, что положительный ток проходит от положительного полюса элемента к отрицательному; при заданном направлении тока через рассматриваемый участок, ЭДС считается положительной, если она создает ток в этом же направлении и отрицательной, – если в противоположном.

Для замкнутой цепи U=0, закон Ома примет вид

(4.52)

где r – внутреннее сопротивление источника тока, R – внешнее сопротивление.

Закон Джоуля – Ленца

.

(4.53)

Количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема, называется удельной тепловой мощностью тока

.

(4.54)

Соотношение

.

(4.55)

называется законом Джоуля – Ленца в дифференциальной форме.

Коэффициент полезного действия цепи

,

(4.56)

где А_ст – работа сторонних сил.