8.2. Примеры решения задач
Задача 8.1. Электрон в атоме водорода перешел с четвёртого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона.
Дано: n1=2, n2=4, Z=1 |
|
Найти: ε = ?
|
Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов (8.20):
|
(1) |
где λ – длина волны фотона; R = 3,29·1015 c-1– постоянная Ридберга; Z – заряд ядра в относительных единицах (при Z=1 формула переходит в сериальную формулу для водорода); n1 – номер орбиты, на которую перешел электрон; n2 – номер орбиты, с которой перешел электрон (n1 и n2 – главные квантовые числа).
Согласно формуле (8.25), энергия фотона ε равна:
|
(2) |
Умножив обе части равенства (1) на hc, получим выражение для энергии фотона:
|
(3) |
Так как Rhc есть энергия ионизации E1 атома водорода, то:
|
(4) |
Вычисления производим в Международной системе СИ:
Ei = 21,76·10-19 Дж
=
=
Дж.
Ответ: ε = Дж.
Задача 8.2. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) U1=51 В; 2) U2=510 кВ.
Дано: m0=9,1·10-31 кг, 1)U1=51 В, 2) U2=510 кВ = =510·103 В |
|
Найти:
|
=
?
Длина волны де Бройля согласно формуле (8.2), равна:
, (1)
Согласно формуле (8.6), имеем (в нерелятивистском случае):
|
(2) |
где m0 – масса покоя частицы.
(в релятивистском случае):
|
(3) |
,где E0=m0c2 – энергия покоя частицы.
Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) (в нерелятивистском случае) имеет вид:
|
(4) |
(в релятивистском случае):
|
(5) |
.Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U1= 51 В и U2= 510000 В, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.
Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, равна:
T = e U. |
(6) |
В
первом случае, T1
= e
U
=
Дж, что много меньше энергии покоя
электрона E0
= m0·c2
=
Дж. Следовательно, в этом случае можно
применить формулу (4). Так как
T1=10-4
·m0c2,,
тогда выражение (4), имеет вид:
|
(7) |
Согласно
формуле (8.32),
есть комптоновская длина волны, тогда
выражение (7), имеет вид:
|
|
Во
втором случае кинетическая энергия T2
= eU2
=
Дж, то
есть равна энергии покоя электрона. В
этом случае необходимо применить
релятивистскую формулу (5).
|
(8) |
или
|
|
Проверим, дает ли полученная формула единицу длины волны (м). Для этого в правую часть формулы (7) вместо величин подставим их единицы:
Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:
м
= 171 пм;
м
= 1,4 пм.
Ответ: = 171 пм; = 1,4 пм.
Задача 8.3. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка T=10 эВ. Используя соотношение неопределённостей, оценить минимальные линейные размеры атома.
Дано: T=10 эВ = 16∙10-19 Дж, m0=9,1·10-31 кг |
|
Найти:
|
=
?
Согласно уравнению (8.7), имеем:
(1)
Из соотношения неопределённостей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределённым становится импульс, а следовательно, энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, и тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределённостью:
|
|
|
(2) |
С учетом уравнения (2) соотношение неопределённостей (1) имеет вид:
|
(3) |
Тогда
|
(4) |
Физически
разумная неопределённость импульса
Δрх,
во всяком случае не должна превышать
значения самого импульса рх,
т.е.
Согласно (8.6), имеем:
.
Заменим Δрх
значением
(такая замена не увеличит l).
Переходя в уравнении (4) от неравенства
к равенству, получим:
|
(5) |
Проверим, даёт ли полученная (5) формула единицу длины (м). Для этого в правую часть формулы (5) вместо символов величин подставим обозначения их единиц:
Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:
Ответ:
= 124 нм.
Задача
8.4. Волновая
функция
описывает основное состояние частицы
в бесконечно глубоком прямоугольном
ящике шириной l.
Вычислить вероятность нахождения
частицы в малом интервале Δl=0,01l
в двух случаях: 1) вблизи стенки
;
2) в средней части ящика
.
Дано:
Δl=0,01l 1) ; 2) |
Решение:
(1)
|
|
Найти:
|
3. Подставляя уравнение (1) в (2), получим, что вероятность нахождения частицы вблизи стенок ящика |
|
|
(3) |
|
(2)
Так
как x
изменяется в интервале
и,
следовательно,
,
справедливо приближенное равенство
,
т.е.
|
(4) |
.С учетом (4) уравнение (3) примет вид:
|
|
Так как квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале (Δl=0,01l) практически не изменяется, во втором случае интегрированием можно пренебречь. Поэтому искомая вероятность во втором случае определяется выражением
|
|
Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:
|
|
Ответ: w1=6,6·10-6, w2=0,02.
Задача
8.5. Вычислить
дефект массы и энергию связи ядра
.
Дано:
А=7 Z=3 |
Решение:
Согласно формуле (8.32), дефект массы ядра есть разность между суммой масс свободных нуклонов и массой ядра, то есть:
|
||
Найти: Δm - ? E – ? |
Можно
считать, что масса нейтрального атома
равна сумме масс ядра и электронов,
составляющих электронную оболочку
атома, то есть
|
.
.
Откуда
|
(2) |
.Подставляя (2) в уравнение (1), получаем
|
(3) |
Учитывая,
что
,
где mH
– масса атома водорода, находим
|
(4) |
Числовые значения масс находим из таблицы в приложении.
В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии, согласно формуле (8.24)
|
(5) |
.Подставляя уравнение (4) в (5), получаем
|
Вычисления:
|
Ответ: Δm=0,689 10-28 кг, Wсв=6,201 10-12 Дж.
Задача
8.6. При
соударении α-частицы с ядром бора
произошла ядерная реакция, в результате
которой образовалось два новых ядра.
Одним из этих ядер было ядро атома
водорода
.
Определить порядковый номер и массовое
число второго ядра, дать символическую
запись ядерной реакции и определить её
энергетический эффект.
Дано:
|
|
Найти:
Q = ? |
,
,
=
?
1. Обозначим неизвестное ядро символом . Так как α-частица представляет собой ядро гелия , то запись реакции имеет вид:
(1)
2. Согласно формулам (8.38), (8.39), имеем:
4
+ 10 = 1 + А
2 + 5 1 + Z Z=6. |
|
А = 13,
неизвестное
ядро является ядром изотопа углерода
.
3. Тогда реакция имеет вид:
|
(2) |
Согласно формуле (8.33), имеем:
Q
= 9 |
(3) |
Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках - массы ядер – продуктов реакции. При числовых подсчётах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможность 0такой замены вытекает из следующих соображений.
Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.
Вычисления производим в Международной системе единиц:
=
=
Дж.
Ответ: Q = Дж.
Задача 8.7. Определить начальную активность А0 радиоактивного препарата магния массой m=0,2 мкг, а также его активность A через время t=6 ч. Период полураспада T1/2 магния считать известным.
Дано:
|
Решение:
Согласно формуле (8.30), активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада |
||
Найти: A0 - ? A – ? |
и определяется отношением числа dN ядер, распавшихся за интервал времени dt, к этому интервалу:
|
По закону радиоактивного распада, согласно (8.25), число распадающихся ядер данного сорта N убывает со временем по экспоненциальному закону:
|
(2) |
,где N0 – начальное число распадающихся атомов при t = 0, λ – постоянная распада.
Продифференцируем уравнение (2) по времени:
|
(3) |
.Поставляя (3) в формулу (1), получаем:
|
(4) |
.Начальную активность А0 препарата получаем при t=0:
|
(5) |
.Постоянная радиоактивного распада связана с периодом полураспада Т1/2 соотношением:
|
(6) |
.Число N0 радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, равно произведению постоянной Авогадро NА на количество вещества данного изотопа:
|
(7) |
.С учетом выражений (6) и (7) формулы (5) и (4) принимают вид
|
Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:
Ответ: А0=5,13 1012 Бк, А=81,3 Бк.
Задача 8.8. Используя квантовую теорию теплоёмкости Эйнштейна, вычислить удельную теплоёмкость с при постоянном объёме алюминия при температуре Т= 200 К. Характеристическую температуру ΘЕ Эйнштейна принять для алюминия равной 300 К.
Дано: Т= 200 К, ΘЕ=300 К |
|
Найти: с = ? |
Формула удельной теплоёмкости c вещества имеет вид:
|
(1) |
где
М – молярная
масса,
- молярная теплоемкость.
Согласно формуле (8.23) молярная теплоёмкость при постоянном объёме имеет вид:
|
(2) |
Подставим (2) в (1), получим:
|
(3) |
Проверим,
дает ли полученная формула единицу
удельной теплоемкости
,
для этого в правую часть формулы (3)
вместо величин подставим их единицы.
|
Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:
=770
(
).
Ответ: с = 770 ( ).
Задача 8.9. Определить теплоту ΔQ, необходимую для нагревания кристалла NaCl массой m=20 г от температуры T1=2 K до температуры T2= 4 K. Характеристическую температуру Дебая Θ для NaCl принять равной 320 К и условие T<<ΘD считать выполненным.
Дано: NaCl, m=20 г = 0,02 кг, T1=2 K, |
T2= 4 K |
Найти: ΔQ = ? |
Согласно формуле (8.24) теплота ΔQ, подводимая для нагревания тела от температуры T1 до T2, имеет вид:
(1)
где СТ – теплоёмкость тела.
Теплоёмкость тела связана с молярной теплоёмкостью соотношением:
|
(2) |
где m – масса тела; M – молярная масса.
Подставим (2) в (1), получим:
|
(3) |
.
В общем случае теплоёмкость Сm есть сложная функция температуры, поэтому выносить её за знак интеграла нельзя, если выполнено условие T<<ΘD, то ΔQ находим по формуле (8.23), получаем:
|
(4) |
Подставим (4) в (3), получим:
|
(5) |
Проинтегрировав выражение (5), получим:
|
|
=
Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:
Дж
=
Дж
= 1,22 мДж.
Ответ: ΔQ = 1,22 мДж.
Задача 8.10. Вычислить максимальную энергию εF (энергию Ферми), которую могут иметь свободные электроны в металле (медь) при температуре T=0 К. Принять, что на каждый атом меди приходится по одному валентному электрону.
Дано: T = 0 К, М = 64·10-3 кг/моль, ρ = 8,9·103 кг/м3 |
|
Найти: εF = ? |
Согласно формуле (8.26) максимальная энергия εF, которую могут иметь электроны в металле при T=0, имеет вид:
, |
(1) |
где ħ – постоянная Планка; m – масса электрона.
Концентрация свободных электронов по условию задачи равна концентрации атомов, которая может быть найдена по формуле:
|
(2) |
где ρ – плотность меди; NA – постоянная Авогадро; M – молярная масса.
Подставим (2) в (1), получим:
|
(3) |
Проверим, дает ли полученная формула единицу энергии Дж, для этого в правую часть формулы (3) вместо величин подставим их единицы.
Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:
=
Дж
= 7,4 эВ.
Ответ: εF = 7,4 эВ.