8. Квантовая механика. Основы атомной и ядерной физики

8.1. Основные формулы и понятия Квантовая механика

Французский физик Луи де Бройль пришел к выводу, что корпускулярно-волновая двойственность свойств характерна не только для света. Согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия Е и импульс , а с другой стороны – волновые характеристики – частота ν и длина волны λ. Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов:

,

(8.1)

где h = 6,62 10^-34 Дж · с – постоянная Планка.

Соотношения (8.1) постулировалось не только для фотонов, но и для других микрочастиц (например, электрон, протон, мюзон и т.д. Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля:

.

(8.2)

Длина волны для частицы с массой m, движущейся со скоростью υ<<c,

.

(8.3)

Если частица имеет кинетическую энергию W, то длина волны

.

(8.4)

Формула де Бройля экспериментально подтвердилась в экспериментах К. Дэвиссона и Л. Джермера, наблюдавших рассеяние электронов монокристаллов никеля.

Соотношением, углубляющим представление о корпускулярно-волновой двойственности свойств частиц, является перенесенная на эти частицы связь между энергией W свободной частицы и частотой ν волн де Бройля:

,

(8.5)

где , ω – циклическая частота. Под свободной частицей понимается частица, движущаяся по инерции в отсутствие внешнего силового поля.

Импульс частицы и его связь с кинетической энергией Т:

для нерелятивистской частицы; (8.6) для релятивистской частицы

где m₀ – масса покоя частицы; m – релятивистская масса; υ – скорость частицы; с – скорость света в вакууме ( м/с); E₀ – энергия покоя частицы ( ).

Соотношение неопределённостей:

Для координаты и импульса:

,

(8.7)

где - неопределенность проекции импульса на ось ОX; - неопределённость координаты.

Для энергии и времени:

,

(8.8)

где – неопределённость энергии; – время жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии.

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний:

,

(8.9)

где - волновая функция, описывающая состояние частицы; m – масса частицы; Е – полная энергия; - потенциальная энергия частицы.

Плотность вероятности:

(8.10)

где - вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой на участке .

Вероятность обнаружения частицы в интервале от до :

(8.11)

Решение уравнения Шредингера для бесконечно глубокой одномерной потенциальной ямы.

Рис 8.1.

Потенциальная энергия частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме

Собственная нормированная волновая функция:

(8.12)

Собственное значение энергии:

,

(8.13)

где - квантовое число ( 1, 2, 3, …); - ширина ямы. В области и .