6.2. Примеры решения задач

Задача 6.1. Изображение дерева АВ занимает всю длину плоского зеркальца длиной 5 см, помещенного вертикально на расстоянии 30 см от глаза. Дерево удалено на 90 см от зеркальца. Какова высота дерева.

Дано: h = 5 см = 0,05 м l = 0,3 м L = 90 м

Найти: H - ?

Решение:

Изображение дерева в зеркальце (рис.), из чертежа находим:

(1)

Тогда

(2)

Вычисления производим в Международной системе единиц СИ.

Вычисления:

Ответ: H = 15,05 м.

Задача 6.2. На плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной d = 1 см падает луч света под углом . Показатель преломления стекла n = 1,73. Часть света отражается, а часть, преломляясь, проходит в стекло, отражается от нижней поверхности пластинки и, преломляясь вторично, выходит обратно в воздух параллельно первому отраженному лучу. Найти расстояние l между лучами.

Дано: d = 1 см = 0,01 м n = 1,73.

Найти: l - ?

Р ешение:

.

Из закона преломления следует, что:

(1)

Угол преломления . Из D АDС получаем

Тогда

(2)

Вычисления производим в Международной системе единиц СИ.

Вычисления:

см.

Ответ: l = 0,58 см.

Задача 6.3. Найти фокусное расстояние кварцевой линзы для ультрафиолетовой линии спектра ртути (λ₁=259 нм), если фокусное расстояние для желтой линии натрия (λ₁=589 нм) = 16 см. Показатели преломления кварца для этих для этих длин волн n₁ = 1,504 и n₂ =1,458.

Дано: нм = = м нм = м = 16 см = 0,16 м	Решение: Согласно формуле (6.9.) (1) Для желтой линии из (1) имеем:
Найти: - ?

Тогда

(2)

Для ультрафиолетовой линии, имеем:

(3)

Решая совместно уравнения (2) и (3), имеем: .

Вычисления производим в Международной системе единиц СИ.

Вычисления:

м.

Ответ: = 0,145 м.

Задача 6.4. В каких пределах может изменяться угол отклонения луча φ при его прохождении через стеклянную призму с преломляющим углом α = 60° ? Показатель преломления стекла n =1,5.

Дано: α = 60° n =1,5	Решение:
Найти: φ - ?

В соответствии с законом преломления луч, падающий на боковую грань призмы под углом θ₁ (рис.), после двукратного преломления выйдет из призмы под углом θ₂′, отклонившись от первоначального направления на угол φ.

Так как сумма внутренних углов четырехугольника ABCD равна 2π, то

θ₁ + θ′₂ + (π − φ) + (π − α) = 2π ,

или

φ = θ₁ + θ′₂ − α ,

а с учетом закона преломления и соотношения θ₁′ + θ₂ = α, получаем:

φ = arcsin(n·sin θ₂ ) + arcsin[n·sin(α − θ₂ )]− α (1)

Для призмы с преломляющим углом α = 60° из условий sin(α − θ₁) ≤ 1/n и n·sin θ₁ ≤1 получаем 18, 2° ≤ θ₁ ≤ 41,8°.

Найдем производная

.

Производная обращается в нуль, если α − θ₂ = θ₂ , т.е. при θ₂ = α/2 = 30° (преломленный луч АС параллелен основанию призмы).

Подставив в уравнение (1) значения θ₂ =18,2° , 30º и 41,8º, получим φ ≈ 58° , 37º и 58º соответственно.

Таким образом, угол отклонения луча может изменяться в пределах от 37º до 58º, а его минимальное значение φ_min связано с углом α соотношением:

В частности, для стеклянной призмы φ_min = α , если α ≈ 83° .

Ответ: φ_min = 83°

З адача 6.5. Световой луч падает на выпуклое сферическое зеркало (рисунок к задаче, а; F – фокус, ОО' – оптическая ось). С помощью геометрических построений найти направление отраженного луча.