5.2. Примеры решения задач

Задача 5.1. По отрезку прямого провода длиной l = 80 см течет ток I = 50 А. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого этим током, в точке А, равноудаленной от концов отрезка провода и находящейся на расстоянии r₀ = 30 см от его середины.

Дано: l = 80 см = 0,8 м I = 50 А r0 = 30 см = 0,3 м	Решение: Магнитную индукцию поля найдем по принципу суперпозиции магнитных полей (5.3), заменив геометрическую сумму интегрированием: , (1)
Найти: B - ?

г де символ l означает, что интегрирование распространяется на всю длину провода.

Запишем закон Био - Савара – Лапласа для индукции магнитного поля

в векторной форме:

,

(2)

где dB – магнитная индукция, создаваемая элементом провода длиной dl с током I в точке, определяемой радиус-вектором r; μ₀ – магнитная постоянная, μ – магнитная проницаемость среды, в которой находится провод (в нашем случае, т.к. средой является воздух, μ = 1).

Векторы от различных элементов тока сонаправлены (рис.), поэтому выражение (1) можно переписать в скалярной форме:

,

(3)

где dB определяется выражением (2), которое в скалярной форме имеет вид:

,

(4)

где α – угол между радиус-вектором и элементом тока dl.

Подставляя выражение (4) в (3), получим

.

(5)

Из рисунка найдем: , где .

С учетом этого уравнение (5) примет вид:

,

(6)

где α₁, α₂ – пределы интегрирования.

Проинтегрировав выражение (5), получим

.

(7)

Заметим, что при симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cos α₂ = - cos α₁.

С учетом этого формула (7) примет вид

(8)

Из рисунка следует, что

(9)

Подставляя формулу (9) в (8), получим

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу индукции магнитного поля (Тл)

Вычисления:

Тл.

Ответ: B = 26,7·10^-6 Тл.

З адача 5.2. Два параллельных бесконечно длинных провода D и C, по которым текут токи в одном направлении электрические токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис.), отстоящей от оси одного проводника на расстоянии r₁ = 5 см, от другого – r₂ = 12 см.

Дано: I = 60 А d = 10 см = 0,1 м r1 = 5 см = 0,05 м r2 = 12 см = 0,12 м	Решение: Для нахождения магнитной индукции в точке A воспользуемся принципом суперпозиции (5.3)
Найти: B - ?

Модуль вектора магнитной индукции найдем по теореме косинусов:

, (1)

где α – угол между векторами B₁ и B₂.

Магнитные индукции B₁ и B₂ выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r₁ и r₂ от проводов до точки А:

(2)

Поставляя выражение (2) в (1), и вынося за знак корня, получим

.

(3)

Из рисунка видно, что α =  DAC (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами).

Из треугольника DAC по теореме косинусов, найдем cosα

(4)

Подставляя выражение (4) в (3), получим

.

(5)

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу индукции магнитного поля (Тл)

Вычисления:

Тл

Ответ: B = 3,08·10^-4 Тл.

Задача 5.3. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течет ток I = 80 А. Найти магнитную индукцию в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20 см.

Дано: R = 10 см = 0,1 м I = 80 А r = 20 см = 0,2 м	Решение: По закону Био – Савара - Лапласа (5.8.) , (1) где – магнитная индукция поля, создаваемая элементом тока Idl в точке,
Найти: B - ?

определяемой радиус-вектором .

В ыделим на кольце элемент dl и от него в точку А проведем радиус-вектор r (рис). Вектор dB направим в соответствии с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей (5.3), магнитная индукция B в точке А определяется интегрированием

,

(1)

где интегрирование ведется по всем элементам dl кольца.

Разложим вектор dB на две составляющие dB_┴, перпендикулярную плоскости кольца, и dB_||, параллельную плоскости кольца, т.е.

(2)

Подставляя выражение (2) в (1), получим

.

Заметив, что из соображений симметрии и что векторы от различных элементов dl сонаправлены, заменим векторное суммирование (интегрированием) скалярным:

,

(3)

где и (поскольку dl перпендикулярен r и, следовательно, sinα = 1).

С учетом этого формула (3) примет вид

.

(4)

Из рисунка видно, что .

Следовательно, формула (4) примет вид

(5)

Проверим, дает ли правая часть равенства (5) единицу магнитной индукции

Вычисления:

Тл.

Ответ: B = 6,28·10^-5 Тл.

Задача 5.4. Длинный провод с током I = 50 А изогнут под углом α = 2π/3. Определить магнитную индукцию в точке А (рис. к задаче 5.4., а). Расстояние d = 5 см.

Дано: I = 50 А α = 2π/3 d = 5 см = 0,05 см	Решение: Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О (рис. к задаче 5.4., б). В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция в точке А будет равна геометрической сумме магнитных индукций и полей, создаваемых отрезками 1 и 2
Найти: В - ?

.

Из закона Био-Савара-Лапласа следует, что в точках, лежащих на оси провода, магнитная индукция dB=0 (т.к. ).

Следовательно, магнитная индукция B₂ = 0.

Согласно формуле (5.9), магнитная индукция B₁ определяется соотношением

,

(1)

где r₀ – кратчайшее расстояние от провода 1 до точки А (рис. к задаче 5.4., б).

В нашем случае, т.к. провод длинный α₁→0, α₂ = α = 2π/3 (cosα₂ = cos(2π/3) = - 1/2 ).

Из рисунка следует, что .

С учетом этого формула (1) примет вид

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу магнитной индукции (Тл):

Вектор сонаправлен с вектором и определяется правилом правого винта. На рисунке 5.4.,б это направление отмечено крестиком в кружочке (т.е. перпендикулярно плоскости чертежа, от нас).

Вычисления:

Тл.

Ответ: B = 3,46·10^-5 Тл.

З адача 5.5. Два бесконечно длинных провода скрещены под прямым углом (рис. к задаче 5.5.,а). По проводам текут токи I₁ = 80 А и I₂ = 60 А. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию B в точке А, одинаково удаленной от обоих проводов.

Дано: I1 = 80 А I2 = 60 А d = 10 см = 0,1 м	Решение: В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция в точке А будет равна геометрической сумме магнитных индукций и , создаваемых токами I1 и I2 .
Найти: B - ?

Из рисунка следует, что векторы B₁ и B₂ взаимно перпендикулярны (их направления находятся по правилу буравчика и изображены в двух проекциях на рис. к задаче 5.5.,б).

Тогда модуль вектора B можно определить по теореме Пифагора:

(1)

Напряженность магнитного поля, согласно (5.8), созданного бесконечно длинным прямолинейным проводником,

,

(2)

где r – расстояние от точки, где находится напряженность, до проводника с током.

Согласно формуле (5.6), магнитная индукция B связана с напряженностью H магнитного поля соотношением

,

(3)

где μ – относительная магнитная проницаемость среды (в нашем случае μ = 1).

Подставляя формулу (2) в (3), найдем магнитные индукций B₁ и B₂, создаваемых токами I₁ и I₂

и

(4)

По условию задачи, r₀ = d/2.

С учетом этого выражение (4) примет вид

и

(5)

Подставляя формулу (4) в (1), получим

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу магнитной индукции (Тл):

Вычисления:

Тл.

Ответ: B = 4·10^-6 Тл.

Задача 5.6. Бесконечно длинный провод изогнут так, как это изображено на рисунке к задаче 5.6,а. Радиус R дуги окружности равен 10 см. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого в точке О током I = 80 A, текущим по этому проводу.

Дано: I = 80 A R = 10 см = 0,1 м	Решение: По принципу суперпозиции магнитных полей (5.3), магнитная индукция в точке О: .
Найти: B - ?

В нашем случае провод можно разбить на три части (рис. к задаче 5.6, б): два прямолинейных провода (1 и 3), одним концом, уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R.

Тогда

,

(1)

где - магнитные индукции в точке О, создаваемые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках провода.

Так как точка О лежит на оси провода 1, то .

С учетом этого, уравнение (1) примет вид:

(2)

Учитывая, что векторы направлены в соответствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, то геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

(3)

Магнитную индукцию B₂ найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока:

.

В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной такого кругового тока, поэтому

.

(4)

Магнитную индукцию B₃ найдем, воспользовавшись соотношением (5.9):

(5)

В нашем случае r₀ = R, α₁ = π/2 (cos α₁ = 0), α₂ → π (cos α₂ = -1).

Тогда

.

(6)

Подставляя формулы (4), (6) в (3), получим

или

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу магнитной индукции (Тл):

Вычисления:

Тл.

Ответ: B = 3,31·10^-4 Тл.

Задача 5.7. По двум параллельным прямым проводам длиной l = 2,5 см каждый, находящимся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи I = 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.

Дано: l = 2,5 см = 0,025 м d = 20 см = 0,2 м I = 1 кА = 1•103 А	Решение: Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое действует на другой провод. Предположим, что оба тока (обозначим их для удобства I1 и I2) текут в одном направлении.
Найти: F - ?

Ток I₁ создает в месте расположения второго провода (с током I₂) магнитное поле. Проведем линию магнитной индукции (пунктир на рис.) через второй провод и по касательной к ней – вектор магнитной индукции B₁.

Рисунок к задаче 5.7

Модуль магнитной индукции B₁ определяется соотношением

.

(1)

Согласно закону Ампера (5.4), на каждый элемент второго провода с током I₂ длиной dl действует в магнитном поле сила

Так как вектор dl перпендикулярен вектору B₁, то sin(dl,B) = 1 и тогда

(2)

Подставив выражение (1) в (2), получим

Силу F взаимодействия проводов с током найдем интегрированием:

Так как I₁ = I₂ = I, получим

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу силы (Н):

Вычисление:

Н.

Ответ: F = 2,5 Н.

З адача 5.8. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией B = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.

Дано: U = 600 В B = 0,3 Тл	Решение: Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том случае, когда частица влетит в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции .
Найти: R - ?

Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости , то она сообщит частице (протону) нормальное ускорение a_n.

Согласно второму закону Ньютона,

,

(1)

где m – масса протона.

На рисунке совмещена траектория протона с плоскостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора . Силу Лоренца направим перпендикулярно вектору к центру окружности (векторы a_n и F_л сонаправлены). Используя правило левой руки, определим направление магнитных силовых линий (направление вектора ).

Запишем выражение (1) в скалярной форме (в проекции на радиус):

.

(2)

Согласно формуле (5.19), сила Лоренца в скалярной форме имеет вид

.

(3)

С учетом того, что и sinα = 1, получим

.

(4)

Нормальное ускорение

.

(5)

Подставляя выражения (4) и (5) в (2), получим

.

Следовательно, радиус окружности

.

(6)

Заметив, что m есть импульс протона (p), выражение (6) можно записать в виде:

.

(7)

Импульс протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т.е. A = ΔT, или

,

где φ₁ – φ₂ = U– ускоряющая разность потенциалов; T₁, T₂ – начальная и конечная кинетическая энергии протона.

Пренебрегая начальной кинетической энергией протона (T₁ = 0) и выразив кинетическую энергию T₂ через импульс p, получим

.

Откуда

.

(8)

Подставляя выражение (8) в (7), получим

.

Убедимся, что правая часть полученного равенства дает единицу длины (м):

Вычисления:

м.

Ответ: R = 0,0118 м.

Задача 5.9. Электрон движется в однородном магнитном поле (B = 10 мТл) по винтовой линии, радиус r которой равен 1 см и шаг h = 6 см. Определить период T обращения электрона и его скорость .

Дано: B = 10 мТл =10·10-3 Тл h = 6 см = 0,06 м r = 1 см = 0,01м	Решение: Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетел в однородное магнитное поле под некоторым углом (α = π/2) к линиям магнитной индукции. Разложим, как показано на рисунке, скорость электрона на две составляющие: параллельную вектору B ( ) и перпендикулярную ему ( ).
Найти: T - ? - ?

Скорость в магнитном поле не изменяется и обеспечивает перемещение электрона вдоль силовой линии. Скорость в результате действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению ( ) (в отсутствие параллельной составляющей ( = 0) движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитным силовым линиям).

Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях: равномерном перемещении со скоростью и равномерном движении по окружности со скоростью .

Согласно формуле (5.20), период обращения электрона в магнитном поле

.

(1)

Согласно второму закону Ньютона

.

(2)

Согласно формуле (5.19), сила Лоренца в скалярной форме имеет вид

.

С учетом того, что sinα = 1, получим

.

(3)

Нормальное ускорение

.

(4)

Подставляя выражения (4) и (3) в (2), получим

.

Следовательно, скорость электрона

.

(5)

Подставляя полученное выражение в формулу (1), получим

(6)

Модуль скорости электрона

(7)

Параллельную составляющую скорости найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения T, электрон пройдет вдоль силовой линии расстояние, равное шагу винтовой линии, т.е. , откуда

(8)

Подставляя выражение (6) в (8), получим

Таким образом, модуль скорости электрона

.

(9)

Убедимся в том, что правая часть равенств (6) и (9) дает единицы времени (с) и скорости (м/с) соответственно:

.

Вычисления:

с.

м/с

Ответ: T = 3,57·10^-9 с, = 2,46·10⁷ м/с.

Задача 5.10. Альфа – частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (E = 10 кВ/м) и магнитное (B = 0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда альфа - частицы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.

Дано: U = 104 В B = 0,1 Тл E = 10 кВ/м = 10·103 В/м	Решение: Для того чтобы найти отношение заряда Q альфа-частицы к ее массе m, воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии частицы: , откуда . (1)
Найти: - ?

Скорость альфа-частицы найдем из следующих соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на движущуюся заряженную частицу действуют две силы:

а) сила Лоренца , направленная перпендикулярно скорости и вектору магнитной индукции ;

б) кулоновская сила , сонаправленная с вектором напряженности электростатического поля (Q>0).

Направим вектор магнитной индукции вдоль оси Oz (см. рис. к задаче), вектор скорости - в положительном направлении оси Ox, тогда и будут направлены так, как показано на рисунке.

Альфа-частица не будет испытывать отклонения, если геометрическая сумма сил будет равна нулю, т.е.

В проекции на ось Oy получим следующее равенство

Откуда

.

(2)

Подставляя выражение (2) в (1), получим

Проверим, дает ли правая часть полученного выражения единицу удельного заряда (Кл/кг):

.

Вычисления:

.

Ответ: Q/m = 4,81·10⁷ Кл/кг

З адача 5.11. Короткая катушка, содержащая N = 10³ витков, равномерно вращается с частотой n = 10 с^-1 относительно оси АВ, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям однородного магнитного поля (B = 0,04 Тл). Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол α = 60^˚ с линиями поля (рис. к задаче). Площадь S катушки равна 100 см².

Дано: N = 103 n = 10 с-1 B = 0,04 Тл α = 60˚ S = 100 см2 = 0,01 м2	Решение: Мгновенное значение ЭДС индукции εi определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея – Максвелла: . (1) Потокосцепление , где N – число витков катушки, пронизываемых магнитным потоком Ф. С учетом этого выражение (1) примет вид:
Найти: εi -?
		(2)

При вращении катушки магнитный поток Ф, согласно (5.21), пронизывающий катушку в момент времени t, изменяется по закону

,

(3)

где B – магнитная индукция; S – площадь катушки; ω – угловая скорость катушки.

Подставив выражение (3) в (2), получим

.

(4)

Заметив, что угловая скорость ω связана с частотой вращения n катушки соотношением

.

Из рисунка следует, что .

С учетом этого выражение (4) примет вид:

.

Проверим, дает ли правая часть полученного выражения единицу ЭДС (В):

.

Вычисление:

В.

Ответ: ε_i = 25,1 В.

Задача 5.12. Плоский квадратный контур со стороной a = 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (B = 1 Тл). Определите работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) φ₁ = 90^˚; 2) φ₂ = 3^˚. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Дано: a = 10 см = 0,1 м I = 100 А B = 1 Тл φ1 = 90˚ φ2 = 3˚	Решение: Согласно (5.17), на контур с током в магнитном поле действует момент силы (1) где – магнитный момент контура с током, φ – угол между направлением магнитного поля и нормалью к плоскости контура.
Найти: А - ?

По определению (5.14), магнитный момент контура

. (2)

Подставив формулу (2) в (1), получим

.

(3)

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент силы равен нулю (М = 0), а значит, φ = 0, т.е. векторы и сонаправлены.

Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота φ), то для расчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме

С учетом формулы (3), получим

.

(4)

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

.

(5)

При повороте на угол φ₁ = 90^˚

.

(6)

Работа при повороте на угол φ₂ = 3^˚. В этом случае, учитывая, что угол φ₂ мал, заменим в выражении (5) :

.

При вычислении работы угол φ₂ выражаем в радианах.

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу работы (Дж):

Вычисления:

Дж

Дж.

Ответ: А₁ = 1 Дж; А₂ = 1,37·10^-3 Дж.

Задача 5.13. Уравнение колебаний материальной точки массой 10 г имеет вид см. Найти максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колеблющейся точки.

Дано: M = 10 г=0,01кг см= = м	Решение: Сила, под действием которой материальная точка совершает гармоническое колебание . (1) Ускорение материальной точки , (2) следовательно .
Найти: Fmax - ? W - ?

Сила будет максимальна, если , тогда сила .

Кинетическая W_k и потенциальная W_p энергии материальной точки

.

Учитывая, что , получаем

.

Следовательно, полная энергия материальной точки

.

Из уравнения колебаний материальной точки, следует, что

A= 5 см=0,05 м, ω=π/5, φ=π/4.

Вычисления:

Ответ: F_max = 197 мкН, W = 4,93 мкДж.

Задача 5.14. Уравнение изменения со временем разности потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре имеет вид В. Емкость конденсатора C=0,1 мкФ. Найти период колебаний, индуктивность контура, закон изменения со временем тока в цепи и длину волны, соответствующую этому контуру.

Дано: U=50cos104πt В С=0,1 мкФ=0,1·10-6 Ф	Решение: Из уравнения изменения со временем разности потенциалов, находим U0=50 В, ω=104π. Учитывая, что , находим .
Найти: Т - ? L - ? I(t) - ? λ - ?

Индуктивность колебательного контура

Найдем закон изменения силы тока со временем в цепи

Длина волны λ связана с периодом Т по формуле

Вычисления:

Ответ: T=2·10^-4 c, L=10,13·10^-3 Гн, λ=6·10^-4 м.

Задача 5.15. Активное сопротивление и индуктивность соединены параллельно и включены в цепь переменного тока напряжением U=127 В и частотой ν=50 Гц. Найти сопротивление и индуктивность, если известно, что цепь поглощает мощность P=404 Вт и сдвиг фаз напряжением и током φ = 60º.

Дано: U=127 В ν=50 Гц P=404 Вт φ=60˚	Решение: Т.к активное сопротивление и индуктивность включены параллельно в цепь переменного тока, то полное сопротивление в цепи , (1) учитывая, что , получаем , (2)
Найти: R - ? L - ?

Согласно закону Ома для переменного тока:

, (3)

где U_эф , I_эф – эффективные значения напряжения и силы тока, определяемые по формулам

, (4)

подставляя (4) в (3), с учетом (2), получаем:

. (5)

Мощность переменного тока:

. (6)

Подставляя (5) в (6), с учетом (4), получаем:

. (7)

Сдвиг фаз между напряжением и силой тока

. (8)

Решая совместно систему уравнений:

Получаем:

Вычисления:

Ответ:R=40 Ом, L=0,074 Гн.