5. Электромагнетизм. Колебания

5.1. Основные формулы и понятия

В заимодействие токов осуществляется через поле, которое называется магнитным, т.е. движущие заряды создают магнитное поле. Бесконечно малый отрезок проводника, по которому проходит ток, называется элементом тока.

Индукция магнитного поля элемента тока (рис.5.1.) равна

(5.1)

где – радиус – вектор, проведенный из элемента тока в рассматриваемую точку, K – коэффициент пропорциональности

,

(5.2)

где - магнитная постоянная.

По закону Био - Савара – Лапласа элемент контура , по которому течет ток I, создает в некоторой точке A пространства магнитное поле напряженностью , модуль которого равен

(5.3)

где r – расстояние от элемента тока dl до точки A, α – угол между радиус–вектором и элементом тока dl.

Магнитная индукция B связана с напряженностью H магнитного поля соотношением

,

(5.4)

где μ – относительная магнитная проницаемость среды.

Для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции: если имеется несколько контуров с током, каждый из которых создает магнитные индукции , и т.д., то магнитная индукция результирующего поля равна векторной сумме индукций отдельных контуров

(5.5)

Сила, действующая на элемент тока (рис. 5.2.), по закону Ампера, равна

(5.6)

Направление силы определяется по правилу буравчика: при движении рукоятки буравчика от вектора к вектору поступательное движение буравчика происходит в направлении силы .

Напряженность магнитного поля в центре кругового тока (рис.5.3.)

,

(5.7)

г де R – радиус кругового контура с током.

Напряженность магнитного поля, созданного бесконечно длинным прямолинейным проводником (рис.5.4),

,

(5.8)

где r – расстояние от точки, где находится напряженность, до проводника с током.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током (см. рис. 5.5, а)

	(5.9)

На рис. 5.5. направление вектора магнитной индукции обозначено точкой – это значит, что вектор B направлен перпендикулярно плоскости чертежа к нам.

При симметричном расположении концов провода относительно точки, в которой определяется магнитная индукция (рис.5.5, б), - cosα₂ = cosα₁ = cosα, тогда

(5.10)

Напряженность магнитного поля на оси кругового тока (рис.5.6.)

,

(5.11)

где R – радиус кругового контура с током, h – расстояние от точки, в которой определяется напряженность, до плоскости контура.

Важное значение для практики имеет магнитное поле тороида – кольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющей форму тора (рис.5.7). магнитное поле сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует.

Рис. 5.7.

Магнитное поле внутри тороида.

Напряженность магнитного поля внутри тороида и бесконечно длинного соленоида

,

(5.12)

где n – число витков на единицу длины соленоида (тороида)

Соленоидом называют систему одинаковых круговых токов с общей прямолинейной осью. Соленоид представляет собой проводник, намотанный на цилиндрическую поверхность (рис.5.8).

Напряженность магнитного поля на оси соленоида конечной длины

,

(5.13)

где β₁ и β₂ – углы между осью соленоида и радиус – вектором, проведенным из

рассматриваемой точки к концам соленоида.

Магнитным моментом называется вектор, модуль которого равен произведению тока I на площадь S поверхности контура

,

(5.14)

где – единичный вектор нормали к поверхности контура.

Потенциальная энергия (механическая) контура с током в магнитном поле

, или

(5.15)

Отношение магнитного момента p_m к механическому L (моменту импульса) заряженной частицы, движущейся по круговой орбите

(5.16)

На замкнутый контур с током в магнитном поле действует пара сил с вращающим моментом

,

(5.17)

где – магнитный момент контура с током, α – угол между направлением магнитного поля и нормалью к плоскости контура.

Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля:

.

(5.18)

Магнитное поле изображают с помощью линий магнитной индукции – линий (рис. 5.9.), касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора B.

Рис .5.9.

Линии индукции магнитных полей кругового тока (а) и соленоида (б)

Их направление задается правилом правого винта (рис.5.1.): головка

винта, ввинчиваемого по направлению тока, вращается в направлении линий магнитной индукции.

Сила, действующая на электрический заряд Q, движущийся в магнитном поле со скоростью , называется силой Лоренца и определяется формулой

или в скалярной форме ,

(5.19)

где – скорость движения зарядов, α – угол между векторами и .

Период вращения частицы в магнитном поле, т.е. время, за которое она совершает один полный оборот (рис.5.10.),

.

(5.20)

Магнитным потоком или потоком магнитной индукции сквозь площадку S (рис. 5.11.) называют величину

,

(5.21)

Рис. 5.11.

Иллюстрация магнитного потока

где  - угол между направлением вектора магнитной индукции и нормали к площади контура. Магнитный поток принято измерять в Веберах. 1 Вб = 1Тесла  м².

Магнитный момент, определяемый формулой (5.21), применим для однородного магнитного поля и плоской поверхности.

Магнитный момент в случае неоднородного поля и произвольной поверхности

,

(5.22)

где интегрирование ведется по всей поверхности.

Для длинного соленоида магнитный поток

,

(5.23)

где l - длина соленоида, N – полное число витков, S – площадь сечения соленоида, I – сила тока.

Потокосцепление (полный поток)

.

(5.24)

Формула (5.24) применима для соленоида и тороида с равномерной намоткой плотно прилегающих друг к другу N витков.

Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

.

(5.25)

Работа внешних сил при медленном повороте рамки с током равна работе сил поля, взятой с обратным знаком:

.

(5.26)

Явление электромагнитной индукции заключается в появлении в контуре Э.Д.С. индукции при всяком изменении потока магнитной индукции сквозь поверхность, охватываемую контуром.

.

(5.27)

Это соотношение получило название закон электромагнитной индукции. Знак минус, стоящий перед производной магнитного потока, отражает правило Ленца: индукционный ток направлен так, чтобы своим действием воспрепятствовать причине, его вызвавшей.

Э.Д.С. индукции в проводнике длиной Δl, движущемся в магнитном поле со скоростью ,

.

(5.28)

Направление и Δl предполагаются взаимно перпендикулярными.

Количество индуцируемого электричества в контуре с сопротивлением R при изменении пронизывающего его потока на ΔФ

,

(5.29)

где ΔФ - изменение магнитного потока в контуре.

Величина магнитного потока, окружающего проводник с током, пропорциональна силе этого тока

,

(5.30)

где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура. Значения L определяются геометрическими свойствами проводника. Единицей измерения L в системе СИ служит генри (Гн):

1Гн =1 Вб/А.

Э.Д.С. самоиндукции пропорциональна производной тока по времени, т.е. быстроте изменения тока

.

(5.31)

Индуктивность длинного соленоида равна

.

(5.32)

Вследствие явления самоиндукции сила тока в цепи при выключении э.д.с. изменяется

,

(5.33)

а при включении э.д.с. сила тока нарастает по закону

,

(5.34)

где R – сопротивление цепи.

Взаимная индуктивность двух соленоидов, пронизываемых общим магнитным потоком

,

(5.35)

где n₁и n₂ – число витков на единицу длины этих соленоидов.

Если в цепь включены две катушки, индуктивности которых равны L₁ и L₂, а взаимная индукция равна L₁₂, то общая индуктивность системы равна

,

(5.36)

знак «+» ставится в том случае, если магнитные поля в катушке усиливают друг друга.

Энергия магнитного поля по перемещению проводника с током в магнитном поле

.

(5.37)

Объемной плотностью энергии магнитного поля называется величина, равная отношению энергии магнитного поля соленоида к его объему

,

(5.38)

где B – магнитная индукция; H – напряженность магнитного поля.

Гармоническим колебанием называется колебания, протекающие по гармоническому закону (т.е. по закону синуса или косинуса) (рис.5.12).

Технические системы, в которых наблюдаются колебательные процессы, называются маятниками или колебательными системами.

Механические колебания подразделяются на свободные и вынужденные колебания.

Свободными колебаниями называются колебания, которые происходят под действием сил, развивающихся в самой колебательной системе. К ним относится затухающие и незатухающие колебания.

Незатухающими называются колебания идеальной системы, протекающие в отсутствии сил трения. К незатухающим колебаниям относится гармонические и ангармонические колебания (рис.5.12).

А нгармоническими называются колебания, в процессе которых величины, характеризующие колебательное движение, не меняются по закону синуса или косинуса.

Затухающими называются колебания, протекающие при наличии сил трения.

Вынужденными называются колебания, происходящие под действием периодически меняющейся (вынуждающей) силы.

Уравнение гармонического колебательного движения имеет вид:

, (5.39)

где x – смещение точки от положения равновесия, разное для разных моментов времени, А – амплитуда, т.е. наибольшее отклонение от положения равновесия, ω₀ – собственная циклическая частота, φ₀ – начальная фаза.

Скорость материальной точки, совершающей колебание

(5.40)

и ускорение точки

. (5.41)

Собственная циклическая частота колебаний называется числом полных колебаний, которые совершаются за 2π секунд, и определяется следующим соотношением:

, (5.42)

где T – период колебаний, ν – линейная частота колебаний.

Периодом колебаний называется наименьший промежуток времени, по истечению которого повторяются значения всех величин, характеризующих колебательное движение.

Сила, под действием которой точка массой m совершает гармонические колебания

, (5.43)

где k – коэффициент упругости, численно равный силе, вызывающей смещение, равной единице.

Кинетическая энергия колеблющей точки

. (5.44)

Потенциальная энергия колеблющейся точки

(5.45)

Для механической системы, где имеет место гармоническое колебание, полная механическая энергия системы величина постоянная и равна

. (5.46)

П ружинный маятник - это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий колебания около положения равновесия (рис. 5.13, а).

Период колебаний пружинного маятника

, (5.47)

где k – коэффициент упругости тела, m - масса груза

Математическим маятником называется система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, совершающей колебания под действием силы тяжести (рис.5.13,б).

Период колебаний математического маятника

, (5.48)

где l – длина математического маятника, g – ускорение свободного падения.

Физическим маятником называется твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела (рис.5.13,в).

,

где J – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; d – расстояние центра масс маятника от оси колебаний; - приведенная длина физического маятника.

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой

. (5.49)

Результирующая начальная фаза, получаемая при сложении двух колебаний, определяется следующим соотношением:

, (5.50)

где A₁ и A₂ – амплитуды слагаемых колебаний, φ₁ и φ₂ – их начальные фазы.

При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода уравнение траектории результирующего движения имеет вид:

. (5.51)

Если на материальную точку, кроме упругой силы действует сила трения, то колебания будут затухающими, и уравнение такого колебания будет иметь вид

, (5.52)

где называется коэффициентом затухания (r – коэффициент сопротивления).

Логарифмическим декрементом затухания называется отношение двух амплитуд, отстоящих друг от друга по времени, равным периоду

. (5.53)

С реди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические величины периодически меняются и сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур – цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивности L, конденсатора емкостью C и резистора сопротивлением R (рис.5.14).

Период T электромагнитных колебаний в колебательном контуре

. (5.54)

Если сопротивление колебательного контура мало, т.е. <<1/LC, то период колебаний колебательного контура определяется формулой Томсона

. (5.55)

Если сопротивление контура R не равно нулю, то колебания будут затухающими. При этом разность потенциалов на обкладках конденсатора меняется со временем по закону

, (5.56)

где δ – коэффициент затухания, U₀ – амплитудное значение напряжения.

Коэффициент затухания колебаний в колебательном контуре

, (5.57)

где L – индуктивность контура, R – сопротивление.

Логарифмическим декрементом затухания называется отношение двух амплитуд, отстоящих друг от друга по времени, равное периоду

. (5.58)

Р езонансом называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы ω к частоте, равной или близкой собственной частоте ω₀ колебательной системы (рис.5.15.).

Условие получения резонанса:

. (5.59)

Промежуток времени, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшится в e раз, называется временем релаксации

. (5.60)

Для характеристики затухания колебательных контуров часто пользуются величиной, называемой добротностью контура. Добротностью контура Q называется число полных колебаний N, умноженное на число π, по истечению которых амплитуда уменьшается в e раз

. (5.61)

Если коэффициент затухания равен нулю, то колебания будут незатухающими, напряжение будет меняться по закону

. (5.62)

В случае постоянного тока отношение напряжения к силе тока называют сопротивлением проводника. Подобно этому при переменном токе отношение амплитуды активной составляющей напряжения U_а к амплитуде тока i₀ называется активным сопротивлением цепи X

. (5.63)

В рассматриваемой цепи оно равно сопротивлению постоянного тока. Активное сопротивление всегда приводит к выделению тепла.

Отношение

. (5.64)

называется реактивным сопротивлением цепи.

Наличие реактивного сопротивления в цепи не сопровождается выделением тепла.

Полным сопротивлением называется геометрическая сумма активного и реактивного сопротивления

, (5.65)

Емкостным сопротивлением цепи переменного тока X_c называется соотношение

. (5.66)

Индуктивное сопротивление

. (5.67)

Закон Ома для переменного тока записывается в виде

, (5.68)

где I_эф и U_эф – эффективные значения силы тока и напряжения, связанные с их амплитудными значениями I₀ и U₀ соотношениями

и . (5.69)

Если цепь содержит активное сопротивление R, емкость C и индуктивность L, соединенные последовательно, то cдвиг фаз между напряжением и силой тока определяется формулой

. (5.70)

Если активное сопротивление R и индуктивность включены параллельно в цепь переменного тока, то полное сопротивление цепи определяется формулой

, (5.71)

и сдвиг фаз между напряжением и током определяется следующим соотношением

, (5.72)

где υ – частота колебаний.

Мощность переменного тока определяется следующим соотношением

. (5.73)

Длина волны связана с периодом следующим соотношением

, (5.74)

где c=3·10⁸м/с – скорость распространения звука.