Подставляя выражения (6) в (5), получим

(7)

Проверим, дает ли правая часть равенств (4) и (7) единицы напряженности (В/м) и потенциала (В):

Вычисления:

В/м

В

Ответ: E = 3,58·10³ В/м, φ = - 157 В.

Задача 4.5. По тонкому кольцу равномерно распределен заряд Q = 40 нКл с линейной плотностью τ = 50 нКл/м. Определить напряженность E электрического поля, создаваемого этим зарядом в точке А, лежащей на оси кольца и удаленной от его центра на расстоянии, равное половине радиуса.

Дано: Q = 40 нКл = 4·10-8 Кл τ = 50 нКл/м = 5·10-8 Кл/м	Решение: Совместим координатную плоскость x0y с плоскостью кольца, а ось Oz – с осью кольца (рис.). На кольце выделим малый участок длиной dl.
Найти: Е - ?

Т ак как заряд , находящийся на этом участке, можно считать точечным, то напряженность dE электрического поля, создаваемого этим зарядом, может быть записана в виде

, (1)

где - радиус – вектор, направленный от элемента dl к точке А.

Разложим вектор dE на две составляющие: dE₁, перпендикулярно плоскости кольца (сонаправленную с осью Oz), и dE₂, параллельную плоскости кольца (плоскости xOy), т.е.

Напряженность E электрического поля в точке А найдем интегрированием:

,

где интегрирование ведется по всем элементам заряженного кольца. Заметим, что для каждой пары зарядов dQ и dQ^/ (dQ = dQ^/), расположенных симметрично относительно центра кольца, векторы и в точке А равны по модулю и противоположны по направлению: . Поэтому векторная сумма (интеграл) . Составляющие dE₁ для всех элементов кольца сонаправлены с осью Oz (единичным вектором k), т.е. .

Тогда

. (2)

Из рисунка видно, что

и

Следовательно, уравнение (1) примет вид

.

Таким образом,

.

Из соотношения определим радиус кольца: .

Тогда

.

Модуль напряженности

.

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу напряженности (В/м):

.

Вычисления:

В/м.

Ответ: Е = 7,92 ·10³ В/м.

Задача 4.6. Точечный заряд Q = 25 нКл находится в поле, созданным прямым бесконечным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью σ = 0,2 нКл/м². Определить силу F, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра r = 10 см.

Дано: Q = 25 нКл = 25·10-9 Кл R = 1 см = 10-2 м σ = 0,2 нКл/м2 = 2·10-10 Кл/м2 r = 10 см = 10-1 м	Решение: Значение силы F, действующей на точечный заряд Q, находящийся в поле, определяется по формуле , (1) где E – напряженность поля. Согласно формуле (4.19), напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра
Найти: F - ?

,

(2)

где τ – линейная плотность заряда.

Выделим элемент цилиндра длиной l и определим на нем заряд Q двумя способами:

Решая полученную систему уравнений, найдем линейную плотность заряда

(3)

Подставляя выражение (3) в формулу (2), получим

.

(4)

С учетом этого формула (1) примет вид:

.

(5)

Проверим, дает ли правая часть равенства (5) единицу силы (Н):

Вычисления:

Н

Ответ: F = 5,65·10^-4 Н.

Задача 4.7. Потенциометр сопротивлением R = 100 Ом подключен к батарее с ЭДС ε = 150 В и внутренним сопротивлением R_i = 50 Ом. Определить: 1) показание вольтметра сопротивлением R_v = 500 Ом, соединенного с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра; 2) разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра.

Дано: R = 100 Ом = 150 В Ri = 50 Ом Rv = 500 Ом	Решение: 1. Показание вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис), определим из закона Ома для участка цепи (4.44): , (1) где R1 – сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра; I1 - суммарная сила тока в ветвях этого соединения (она равна силе тока в неразветвленной части цепи).
Найти: U1 - ? U2 - ?

Из закона Ома для полной цепи, согласно (4.52), найдем силу тока I₁

,

(2)

где R_e – сопротивление внешней цепи.

Сопротивление внешней цепи есть сумма двух сопротивлений:

(3)

Согласно уравнению (4.50) сопротивление при параллельном соединении проводников

.

(4)

Из уравнения (4) следует, что

(5)

Решая совместно уравнения (5), (3) и (2), получим

.

(6)

С учетом выражения (6), формула (1) примет вид

(7)

2. Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I₂ на половину сопротивления потенциометра:

,

(8)

где I₂ – сила тока в цепи при отключенном вольтметре. Ее находим из закона Ома для полной цепи:

,

(9)

Подставив выражение (9) в (8), получим

.

(10)

Проверим, дает ли правые части равенств (7) и (10) единицу напряжения (В):

Вычисления:

В

В

Ответ: U₁ = 46,9 В; U₂ = 50 В.

З адача 4.8. Электрическое поле создается двумя зарядами Q₁ = 4 мкКл и Q₂ = - 2 мкКл, находящимися на расстоянии a = 0,1 м друг от друга. Определить работу A_1,2 сил поля по перемещению заряда Q = 50 нКл из точки 1 в точку 2 (см. рис.).

Дано: Q1 = 4 мкКл = 4·10-6 Кл Q2 = - 2 мкКл = - 2·10-6 Кл a = 0,1 м Q = 50 нКл = 5·10-8 Кл	Решение: Работа сил поля над зарядом, согласно формуле (4.29.), может быть представлена через разность потенциалов (1) Применяя принцип суперпозиции электрических полей, определим потенциалы φ1 и φ2 точек 1 и 2 поля:
Найти: A1,2 - ?
		(2)

(3)

Подставляя формулы (2), (3) в (1), получим

.

(4)

Преобразуя выражение (4), получим

.

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу работы (Дж):

Вычисления:

Дж.

Ответ: А_1,2 = 14,3·10^-3 Дж.

Задача 4.9. Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью υ₁ = 10⁶ м/с, чтобы скорость возросла в n = 2 раза.

Дано: υ1 = 106 м/с n = 2	Решение: Ускоряющую разность потенциалов, согласно формуле (4.29) можно найти, вычислив работу А сил электростатического поля (1) Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона:
Найти: U - ?

,

(2)

где - кинетическая энергия электрона до и после прохождения ускоряющего поля; m – масса электрона; υ₁ и υ₂ – начальная и конечная скорости электрона.

Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим

,

где .

Отсюда искомая разность потенциалов

(3)

Проверим, дает ли правая часть равенства (3) единицу разности потенциала (В):

Вычисления:

В.

Ответ: U = 8,53 В.

Задача 4.10. Конденсатор емкостью C₁ = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U₁ = 40 В. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим заряженным конденсатором емкостью C₂ = 5 мкФ. Какая энергия W^/ израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Дано: C1 = 3 мкФ = 3·10-6 Ф U1 = 40 В C2 = 5 мкФ = 5·10-6 Ф	Решение: Энергия, израсходованная на образование искры, , (1) где W1 – энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W2 – энергия, которую
Найти: W/ - ?

имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Согласно формуле (4.36), энергия заряженного конденсатора до и после присоединения

,

(2)

где U₂ – разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов; C₂^/ - общая емкость батареи конденсаторов.

При параллельном соединении конденсаторов, согласно формуле (4.34), емкость батареи

(3)

Подставляя выражения (3), (2) в (1), получим

.

(4)

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов следующим образом

(5)

Подставив выражение (5) в (4), найдем

(6)

Проверим, дает ли правая часть равенства (6) единицу энергии (Дж):

Вычисления:

Дж.

Ответ: W^/ = 1,5·10^-3 Дж.

З адача 4.11. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом нарастает в течение времени Δt = 2 с по линейному закону от I₀ = 0 до I = 6 А (рис.). Определить теплоту Q₁, выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, и Q₂ – за вторую, а также найти отношение Q₂/Q₁.

Дано: R = 20 Ом Δt = 2 с I0 = 0 I = 6 А t 1 = 1 c t 2= 2 c	Решение: По закону Джоуля – Ленца, согласно формуле (4.53) . (1) В уравнении (1) сила тока является некоторой функцией времени. В данном случае , (2)
Найти: Q1 - ? Q2 - ? Q2/Q1 - ?

где k – коэффициент пропорциональности, характеризующей скорость изменения силы тока:

А/с.

С учетом (2) формула (1) примет вид

.

(3)

Для определения теплоты, выделившейся за конечный интервал времени Δt, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от t₁ до t₂:

.

(4)

Проверим, дает ли правая часть уравнения (4) единицу теплоты (Дж):

.

Вычисления:

Дж

Дж

.

Ответ: Q₁ = 60 Дж; Q₂ = 420 Дж; .