4.2. Примеры решения задач

Задача 4.1. Три точечных заряда Q₁=Q₂=Q₃=1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q₄ нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?

Дано: Q1=Q2=Q3= 1 нКл = 10-9 Кл	Решение: Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы какой-нибудь один из трех зарядов, например Q1, находился в равновесии.
Найти: Q4 - ?

З аряд Q₁ будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю (см. рис.):

(1)

где F₂, F₃, F₄ – силы, с которыми соответственно действуют на заряд Q₁ заряды Q₂, Q₃ , Q₄; F – равнодействующая сил F₂ и F₃.

Так как силы F и F₄ направлены по одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить скалярным:

F - F₄ = 0,

Откуда F = F₄ .

Согласно рисунку ,

Следовательно, модуль силы F₄

, (2)

т.к. F₂ = F₃

По закону Кулона, согласно уравнению (4.1.)

. (3)

Подставляя уравнения (3) в формулу (2), с учетом того, что Q₁=Q₂=Q₃ , получим

,

откуда

. (4)

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что

.

С учетом этого формула (4) примет вид

.

Вычисления:

Кл

Ответ: Q₄ = 5,77 · 10^-10 Кл.

Задача 4.2. Два шарика одинаковых радиусов и массы подвешены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются. Какой заряд нужно сообщить шарикам, чтобы сила натяжения стала равной 98 мН? Расстояние от центра шарика до точки подвеса 10 см, масса каждого шарика 5г.

Дано: m1 = m2 = 5·10-3 кг Fн = 98мН = 98·10-3 Н l = 10см = 0,1м r1 = r2 = r	Решение: Сделаем чертеж и укажем силы, действующие на шарики (см. рис.). Запишем условие равновесия шариков в векторной форме: форме (1)
Найти: q - ?

Спроецируем уравнение (1) на оси OX и OY:

Ось OX:

(2)

Ось OY:

(3)

По закону Кулона, согласно уравнению (3.1):

, (4)

т.к. по условию, поверхности шариков соприкасаются, то заряд, полученный шариками, распределится поровну, и заряд каждого шарика будет равен q/2. Следовательно, уравнение (4) можно записать в следующем виде:

. (5)

Из основного тригонометрического тождества:

. (6)

Из рисунка видно, что

(7)

Решая полученную систему уравнений относительно искомой величины:

можно получить:

(8)

Проверим, дает ли правая часть равенства (8) единицу заряда (Кл):

Вычисления производим в Международной системе СИ:

Ответ: Кл.

З адача 4.3. На тонком стержне длиной l = 20 см находится равномерно распределенный электрический заряд. На продолжении оси стержня, на расстоянии a = 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд Q₁ = 40 нКл, который взаимодействует со стержнем с силой F = 6 мкН. Определить линейную плотность τ заряда на стержне.

Дано: l = 20 см = 0,2 м a = 10 см = 0,1 м Q1 = 40 нКл = 4·10-8 Кл F = 6 мкН = 6·10-6 Кл	Решение: Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом Q1 зависит от линейной плотности τ заряда на стержне. Зная эту зависимость, можно определить τ. При вычислении силы F следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применить нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом.
Найти: τ - ?

Выделим на стержне (см. рис) малый участок dr с зарядом

. (1)

Этот заряд можно рассматривать как точечный.

Тогда, согласно закону Кулона,

. (2)

Интегрируя выражение (2) в пределах от a до a+l, получаем

откуда

.

Проверим, дает ли расчетная формула единицу линейной плотности электрического заряда. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы:

Найденная единица является единицей линейной плотности заряда.

Вычисления:

Кл/м

Ответ: τ=2,5·10^-9 Кл/м.

Задача 4.4. Два точечных электрических заряда Q₁ = 1 нКл и Q₂ = - 2 нКл находятся в воздухе на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить напряженность E и потенциал φ поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда Q₁ на расстоянии r₁ = 9 см и от заряда Q₂ на r₂ = 7 см.

Дано: Q1 = 1 нКл = 10-9 Кл Q2 = - 2 нКл = 2·10-9 Кл d = 10 см = 0,1 м r1 = 9 см = 0,09 м r2 = 7 см = 0,07 м	Решение: Согласно принципу суперпозиции электрических полей: . (1) Напряженности Е1 и Е2 полей, создаваемых каждым зарядом Q1 и Q2 в отдельности: (2)
Найти: E - ? φ - ?

Вектор (см. рис) направлен по силовой линии от заряда Q₁ , так как этот заряд положителен; вектор направлен также по силовой линии, но к заряду Q₂ , так как этот заряд отрицателен.

Модуль вектора E найдем по теореме косинусов:

, (3)

где α – угол между векторами и , который может быть найден из треугольника со сторонами r₁, r₂ и d:

.

В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение cosα вычислить отдельно:

Подставляя выражение (2) в (3) и вынося общий множитель 1/(4πε₀) за знак корня, получаем

(4)

Потенциал результирующего поля, создаваемого двумя зарядами Q₁ и Q₂ , согласно формуле (4.27)

. (5)

Потенциал поля точечного заряда Q, находящегося в точке на расстоянии r от него, согласно (4.26)

.

Соответственно потенциал поля для зарядов Q₁ и Q_2:

(6)