3.2. Примеры решения задач

Задача 3.1. Определить молярную массу смеси кислорода массой m₁ = 25 г и азота массой m₂ = 75 г.

Дано: m1 = 25 г = 25·10-3 кг m2 = 75 г = 75·10-3 кг	Решение: Молярная масса смеси М есть отношение массы смеси m к количеству вещества смеси ν: . (1) Масса смеси равна сумме масс компонентов: . (2)
Найти: М = ?

Количество вещества смеси равно сумме количества компонентов:

. (3)

Подставив в формулу (1) выражения (2) и (3) и преобразовав, получим:

.

Молярные массы кислорода М₁ и азота М₂ определяем из таблицы Менделеева:

М₁=32·10^-3 кг/моль и М₂=28·10^-3 кг/моль

Вычисления:

.

Ответ:

Задача 3.2. Два баллона соединены трубкой с закрытым клапаном, объемом которой можно пренебречь. В баллоне объемом 0,02 м³ находится газ под давлением 1,6×10⁴ Па, а в баллоне объемом 0,06 м³ - тот же газ под давлением 1,2×10⁴ Па. Какое давление установится в баллонах, если открыть кран? Температура газа остается постоянной.

Дано: V1 = 0,02 м3 р1 = 1,6×104 Па V2 = 0,06 м3 р2 = 1,2×104 Па Т = const.

Решение: Газ занимает весь предоставленный ему объем. После того, как клапан будет открыт, часть газа из одного сосуда будет переходить в другой до тех пор, пока давление в обоих сосудах не уравняется. Объем, который будет занимать газы, равен сумме объемов сосудов V = V1 + V2, где V1 - объем первого сосуда, V2 - объем второго сосуда. Давление, установившееся в сосудах, согласно закону Дальтона, р = р1' + р2' (1)

Найти: р - ?

где р₁' - давление газа первого сосуда, р₂' - давление газа второго сосуда.

По условию задачи температура газа остается неизменной, следовательно, согласно закону Бойля-Мариотта для двух состояний газа можно записать:

, (2)

Решая полученную систему уравнений

получим

Проверить единицы физических величин слева и справа от знака равенства

Вычисления:

1,3×10⁴ Па.

Ответ: р = 1,3×10⁴ Па.

Задача 3.3. Баллон содержит m₁= 80 г кислорода и m₂=320 г аргона. Давление смеси р=1 МПа, температура Т=300 К. Принимая данные газы за идеальные, определить объем V баллона.

Дано: m1 = 80 г=0,08 кг m2 = 320 г=0,32 кг р = 1 МПа =1×106 Па Т = 300 К.	Решение: По уравнению Менделеева - Клайперона, парциальные давления р1 кислорода и р2 аргона выражаются формулами: , (1) где М1 и М2 - молярная масса кислорода и аргона, R=8,31 - универсальная газовая постоянная.
Найти: V-?

По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси:

р = р₁ + р₂ (2)

Подставив уравнение (1) в уравнение (2), получим:

.

из последнего выражения найдем объем баллона:

,

где М₁=32·10^-3 кг/моль – молярная масса кислорода, М₂=40·10^-3 кг/моль – молярная масса аргона (из таблицы Менделеева).

Вычисления:

Ответ: V=0,0262 м³

Задача 3.4. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т=350 К, а также кинетическую энергию Е_к вращательного движения всех молекул кислорода массой m =4 г.

Дано: m = 4 г = 4·10-3 кг Т = 350 К.	Решение: На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия: , где k=1,38·10-23 Дж/К - постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура.
Найти: -? Ек - ?

Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода – двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода:

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа:

. (2)

Число всех молекул газа найдем из формулы количества вещества:

, (3)

где N_A=6,02·10²³моль^-1 - число Авогадро, ν - количество вещества, М=32·10^-3 кг/моль – молярная масса кислорода.

Подставляя уравнение (3) в формулу (2), получим:

.

Вычисления:

Ответ: ,

Задача 3.5. Некоторое количество гелия расширяется: сначала адиабатно, а затем изобарно. Конечная температура газа равна начальной. При адиабатном расширении газ совершил работу, равную 4,5 кДж. Какова работа газа за весь процесс?

Дано: V2 = 3V1 А12 = 4,5·10-3 Дж р = const Q = 0 Т3 = Т1	Решение: Изобразим графически процессы, происходящие с газом.
Найти: А123 - ?

На графике процесс 1-2 является адиабатным, т.е Q = 0; процесс 2 – 3 - изобарный (р = const). Так как начальные и конечные температуры равны (по условию задачи), то процесс 3 – 1 будет изотермическим (Т=const).

полная работа равна сумме работ на каждом из участков:

А₁₂₃ = А₁₂ + А₂₃ (1)

По первому закону термодинамики для адиабатного процесса, учитывая, что газ одноатомный работа А₁₂ газа на участке 1-2, равна изменению внутренней энергии , взятой со знаком «минус»:

, (2)

где М = 4·10^-3 кг/моль – молярная масса гелия, Т₁ и Т₂ – абсолютные температуры газа в состоянии 1 и 2 соответственно, R=8,31 - универсальная газовая постоянная.

Работа изобарного расширения, учитывая, что Т₃ = Т₁, равна

. (3)

Решая совместно полученные уравнения

А₁₂₃ = А₁₂ + А₂₃

_{Получим}

А₁₂₃ = А_12.

Вычисления:

А₁₂₃ = ·4,5·10³=7500 Дж

Ответ: А₁₂₃ = 7500 Дж.

Задача 3.6. Коэффициент диффузии D и вязкость η водорода при некоторых условиях равны D = 1,42·10^-4 м²/с и η = 8,5 мкПа·с. Диаметр молекул водорода σ = 0,3 нм. Найти число n молекул водорода в единице объема.

Дано: D = 1,42·10-4 м2/с η = 8,5 ·10-6 Па·с σ = 0,3·10-9 м	Решение: Коэффициент диффузии D и коэффициент вязкости η, определяются уравнениями: где - средняя арифметическая скорость молекул;
Найти: n - ?

- средняя длина свободного пробега молекул; ρ – плотность газа.

Количество вещества:

,

где М=2·10^-3 кг/моль – молярная масса водорода; m – масса газа; N_A=6,02·10²³ моль^-1 - число Авогадро, ν - количество вещества.

Концентрация молекул водорода n определяется числом молекул N в единице объема V:

Решая совместно систему уравнений:

можно получить:

Вычисления:

м^-3

Ответ: n = 1,8·10²⁵ м^-3

задача 3.7. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика Т₁ = 500 К. Определить термический КПД цикла и температуру Т₂ теплоприёмника тепловой машины, если за счёт каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу А= 350 Дж.

Дано: А= 350 Дж Q1 = 1кДж=103 Дж Т1=500 К	решение: Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдачика, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой: , где Q1 - теплота, полученная от теплоотдачика, А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины
Найти: η-? Т2-?

Зная КПД цикла, можно из формулы для КПД цикла Карно

найти температуру охладителя Т₂:

.

Вычисления:

Ответ: η=35%, Т₂=325 К

Задача 3.8. Масса 10 г гелия находится при температуре 300 К. При изобарном нагревании его объем увеличился в 3 раза. Определить изменение внутренней энергии, работу газа и количество теплоты, сообщенное газу.

Дано: m = 10×10-3 кг М = 4×10-3 кг/моль Т1 = 300 К V2 = 3V1 P = сonst.	Решение: Изменение внутренней энергии газа можно найти, используя уравнение: , где R=8,31 Дж/(К·моль) – универсальная газовая постоянная; М – молярная масса газа; m – масса газа; Т1 и Т2 – абсолютные температуры начального и конечного состояния газа.
Найти: DU = ? A = ? Q = ?

Для определения температуры T₂ воспользуемся законом Гей-Люссака для изобарического процесса

откуда

Тогда

.

Работа газа при его расширении определяется выражением:

А = PV = P(V2 - V1).

Воспользовавшись уравнением Менделеева-Клайперона, найдем разность объемов двух состояний газа (V₂ – V₁):

.

Тогда

.

Для определения количества теплоты, сообщенной газу, воспользуемся первым законом термодинамики для изобарического процесса:

Вычисления:

Ответ: U = 18,7·10³ Дж; А = 12,45·10³ Дж; Q = 31,1·10³ Дж.

Задача 3.9. Газовая смесь состоит из азота массой m₁=2 кг и аргона массой m₂ = 1 кг. Принимая данные газы за идеальные, определить удельные теплоемкости с_V и с_P газовой смеси.

Дано: m1 = 2 кг m2 = 1 кг	Решение: Количество теплоты, необходимое для нагревания смеси аргона и азота найдем двумя способами: (1) , (2) где сV – удельная теплоемкость смеси газов при постоянном объеме; сV1 - удельная теплоемкость азота при постоянном объеме; сV2 - удельная теплоемкость аргона при постоянном объеме.
Найти: сV - ? сP - ?

Приравнивая правые части уравнений (1) и (2) и произведя сокращения, получим

откуда

. (3)

Аналогично найдем выражение для с_Р :

. (4)

Удельные теплоемкости идеальных газов при постоянном объеме с_V и постоянном давлении с_Р выражаются формулами:

₍₅₎

где i – число степеней свободы (для двухатомного газа (азот) i=5, для одноатомного (аргон) i=3); R=8,31 - универсальная газовая постоянная; М₁ = 28×10^-3 кг/моль – молярная масса азота; М₂ = 40×10^-3 кг/моль – молярная масса аргона.

Подставляя уравнения (5) в формулы (3) и (4), получим

.

Вычисления:

Ответ: ;