Некоторые рекомендации при решении задач по кинематике

1. Решение задач по кинематике прямолинейного движения осно­вано на применении двух основных уравнений – уравнения координаты и уравнения скорости.

2. Обратить внимание на знаки проекций векторов скоростей и ускорений на выбранные оси координат. Следует учитывать, что числовые значения ответа не зависят от выбора положительного направления осей координат.

3. В ряде случаев рациональный выбор системы отсчета может привести к существенному упрощению решения задачи.

4. При вычислении средней скорости необходимо помнить, что средняя путевая скорость определяется отношением всего пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь пройден, включая время остановки.

5. При движении тела, брошенного вертикально вверх или вниз, если не учитывается сопротивление воздуха, ускорение тела равно ускорению свободного падения тела - .

6. При расчетах пути, пройденного телом за некоторый промежуток времени, например, за n-ую секунду, надо учитывать, что это одна секунда, но n-ая от начала отсчета времени. Путь за n-ую секунду равен разности путей за n секунд и (n – 1) секунд. Аналогичным образом поступают при определении времени прохождения телом n-го метра пути.

7. Если характер движения на разных участках пути различен, то весь путь надо разбить на отдельные участки и для каждого составить свои уравнения.

8. Если в задаче что-то известно о пути, то начинать надо с формулы пути, в которой наименьшее число неизвестных.

9. Основное требование при решении графических задач - твердое знание графиков элементарных функций и умение их использовать.

Первую группу графических задач составляют задачи, в которых дается график зависимости (обычно от t) одних кинематических величин и по нему нужно построить график зависимости между какими-либо другими величинами. Необходимо внимательно проанализировать предложенный график, установить характер заданного движения и представить данную зависимость.

Некоторые рекомендации при решении задач по динамике

После краткой записи условия в задачах этого раздела необхо­димо:

1. Построить чертеж, на котором:

а) изображается тело, к центру масс которого приложены все действующие на него силы;

б) через центр масс проводятся оси координат OX и OY (их направления выбираются в зависимости от условия задачи);

в) показываются направления скорости тела и его ускорения.

2. Записать второй закон Ньютона в векторной форме.

Для того чтобы не пропустить ни одной силы, можно начать запись с одной из них и по часовой стрелке обойти тело.

3. Записать второй закон Ньютона в скалярной форме по осям координат, для чего необходимо определить проекции векторов сил и ускорений на выбранные оси.

4. Решить полученную систему уравнений и определить неиз­вестную величину.

2.2. Примеры решения задач

Задача 2.1. Автомобиль проехал половину пути со скоростью 60 км/ч, оставшуюся часть пути он половину времени шел со скоростью 15 км/ч, а последний участок со скоростью 45 км/ч. Найти среднюю скорость на всем пути.

Дано: 60 км/ч = 16,7 м/с 15 км/ч = 4,2 м/с 45 км/ч = 12,5 м/с	Решение:
Найти:

Рисунок к задаче 2

По формуле (2.2) имеем:

; ;

Ответ: 40 км/ч

Задача 2.2. Движение материальной точки описывается законом . Определить скорость тела в момент времени t =2c.

Дано: t =2 c	Решение: Согласно уравнению (2.4), при t = 2; .
Найти: = ?

Ответ: .

Задача 2.3. При равноускоренном движении тело проходит за первые равные последовательные промежутки времени, по t = 4 с каждый, пути s₁ = 24 м и s₂ = 64 м. Определить ускорение и начальную скорость тела.

Дано: t = 4 с s1 = 24 м s2 = 64 м	Решение: Путь, пройденный телом за первые 4 с, согласно формуле (2.10):
Найти: а - ?

,

(1)

скорость тела за первые 4 с:

.

(2)

С учетом формулы (2), путь, пройденный телом за следующие 4 с,:

,

(3)

Решая совместно уравнения (1) и (3) получим:

.

Ответ: а = 2,5 м/с, .

Задача 2.4. За какую секунду от начала движения путь, пройденный телом в равноускоренном движении, втрое больше пути, пройденного в предыдущую секунду, если . Путь за n-ую секунду .

Дано:	Решение: Согласно выражению (2.10):
Найти:
; ;

Ответ:

Задача 2.5. Ось с двумя дисками, расположенными на расстоянии l = 0,5 м друг от друга, вращается с частотой n = 1600 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска; при этом отверстие от пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на угол . Найти скорость υ пули.

Дано: l = 0,5 м n = 1600 об/мин = 27 об/с	Решение: 1. Рисунок к задаче 2.5. 2. Согласно уравнению (см. табл. 2.1), имеем: (1)
Найти: υ - ?

3 . Выберем = 0. Из условия следует, что движение осуществляется с постоянной угловой скоростью  = 2n, следовательно, угловое ускорение равно 0, то есть смещение таким образом

	(2)
	(3)

Скорость пули

(4)

4. Подставив (3) в (2), а затем (2) в (4) можно получить:

5. Вычисления производятся в Международной системе единиц СИ:

вычисления:

Ответ: υ = 419 м/с.

Задача 2.6. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости  = 20 рад/с через N = 10 об после начала вращения. Найти угловое ускорение  колеса.

Дано:  = 20 рад/с N = 10 об	Решение: 1. Рисунок к задаче 2.6. 2. Согласно уравнению (см. таб. аналогий), имеем: (1) (2)
Найти:  - ?

3. По условию . Тогда

(3) (4)

4. Выражая из уравнения (2)  и учитывая, что  = 2N, можно получить:

(5)

Получим:

Поскольку   0, то направление вектора совпадает с направлением вектора .

5. Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

1. проверка единиц физических величин измерений справа и слева от знака равенства:

2. вычисления:

Ответ:

Задача 2.7. Две гири с массами = 2 кг и = 1 кг соединены и перекинуты через невесомый блок. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Трением в блоке пренебречь.

Дано: = 2 кг = 1 кг	Решение: 1. Рисунок к задаче 2.7. 2. Согласно уравнению (2.39), имеем: Для 1 гири:
Найти: а - ? Т - ?

Для 2 гири:

3. Предположим, что нить невесома и нерастяжима. Выберем элемент нити m и запишем уравнение движения в проекции на ось У: Поскольку m = 0, то есть сила натяжения нити во всех точках одинакова. Ускорения движения гирь тоже одинаковы, Так как из-за нерастяжимости нити за одно и то же время гири проходят один путь, то есть, следовательно,

Но направление векторов противоположны.

4. И.С.О.: Тело отсчета – Земля; система координат – линейная; ОУ – вертикально вниз.

Для 1 гири: Для 2 гири:

Для 1 гири:

Для 2 гири:

5. Решая совместно полученную систему уравнений относительно искомой величины, можно получить:

6 . Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

1. проверка единиц физических величин измерений справа и слева от знака равно:

2. 

3. вычисления:

Ответ: Т = 13 Н; а = 3,27 .

Задача 2.8. Невесомый блок укреплен на конце стола. Гири 1 и 2 одинаковой массы = 1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Коэффициент трения гири 2 о стол  =0,1. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Трением в блоке пренебречь.

Дано: = 1 кг  =0,1	Решение: 1. Рисунок к задаче 2.8.
Найти: а - ? Т - ?

1. Для 1 гири:

Для 2 гири:

2. И .С.О. : Тело отсчета – Земля; Система координат – Декартова; ОХ – вертикально вниз(по ходу движения гири 1); ОУ – горизонтально влево (по ходу движения гири 2); Начальная координата – в точке О.

3. О Х:

m₁ g – T₁ = m₁a T₂ – F_ТР = m₂a

(см. задачу 2.7)

Сила трения равна:

4. Решая систему уравнений относительно искомой величины:

можно получить:

5.Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

1. проверка единиц физических величин измерений справа и слева от знака равно:

2) вычисления:

Ответ: а = 4,4 , Т = 5,4 Н.

Задача 2.9. Тело массой m₁ = 2 кг движется навстречу второму телу массой m₂ = 8 кг и упруго соударяется с ним. Скорости тел непосредственно перед ударом были υ₁ = 3 м/с и υ₂ = 1 м/с. Считая удар центральным, найти скорости тел u₁ и u₂ после удара?

Дано: m1 = 2 кг m2 = 8 кг = 3 м/с = 1 м/с	Р ешение: До взаимодействия: m1 m2 Рисунок к задаче 2.9.
Найти: u1 - ? u2 - ?

2. После взаимодействия:

Рисунок к задаче 2.9.

3. Введем систему координат: ОХ – горизонтально вправо.

4. До взаимодействия: После взаимодействия:

ОХ: p_1х = m₁υ₁ ОХ: p^ _1х = m₁u₁;

р_2х = m₂ υ₂ ; p^_2x = m₂u₂;

р = р_1х + р_2х = m₁ υ₁ + m₂ υ₂ p^ = p^ _1х + p^_2x = m₁u₁ + m₂u₂

5. Проекция внешней силы (силы тяжести) на ось ОХ равна нулю, то система закрыта в проекции на данную ось.

6.Согласно уравнению (2.55), имеем: m₁ υ₁+ m υ₂ = m₁u₁ + m₂u₂

7. Согласно уравнению (2.61), имеем:

8. Решая совместно систему уравнений относительно u₁ и u₂:

Получаем:

Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

1. вычисления:

Знак «-» указывает, что первый шар стал двигаться в направлении, противоположном направлению движения первого шара.

Ответ: u₁ = -0,2 м/с; u₂ = 1,8 м/с.

Задача 2.10. Горизонтальная платформа массой m = 100 кг вращается вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n₁ = 10 об/мин. Человек массой m₀ = 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой n₂ начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека – точечной массой.

Дано: m0 = 60 кг m = 100 кг n1 = 10 об/мин	Решение: 1. Рисунок к задаче 2.10.
Найти: n2 - ?

2.Система «человек – платформа» замкнута в проекции на ось у, так как моменты сил M_mg = 0 и M_m0g = 0 в проекции на эту ось.

3 . Согласно уравнению (2.68):

В проекции на ось у: L_1y = J₁₁; L_1y = J₂₂ , где J₁ – момент инерции платформы с человеком, стоящим на ее краю, J₂ – момент инерции платформы с человеком, стоящим в центре, ₁ и ₂ – угловые скорости платформы в обоих случаях.

Тогда: , где R – радиус платформы.

4. Решая совместно систему уравнений относительно n₂:

Получаем:

Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

1) вычисления:

Ответ: 22 об/мин.