Динамика вращательного движения твердого тела

 Момент инерции материальной точки

I = mr2,

(2.62)

где m – масса точки; r – ее расстояние от оси вращения.

Момент инерции твердого тела

,

(2.63)

где r_i – расстояние элемента массы m_i от оси вращения.

Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси

I = I0 + ma2 ,

(2.64)

где I₀ – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр инерции тела параллельно заданной оси; a – расстояние между осями; m – масса тела.

Момент силы  , действующей на тело, относительно оси вращения

,

(2.65)

где   – сила; l – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

Момент импульса вращающегося тела относительно оси

,

(2.66)

где  – угловая скорость вращения тела; I – момент инерции тела.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

.

(2.67)

Если I = const, то М = I, где  – угловое ускорение тела.

Закон сохранения момента импульса

,

(2.68)

где L_i – момент импульса тела с номером i, входящего в состав замкнутой системы тел.

Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел

,

(2.69)

где – момент инерции и угловые скорости тел до взаимодействия; – те же величины после взаимодействия.

 Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся тело

А = М,

(2.70)

где  – угол поворота тела.

 Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела

N = M.

(2.71)

Кинетическая энергия вращающегося тела

.

(2.72)

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

,

(2.73)

где – кинетическая энергия поступательного движения тела; v –скорость центра инерции тела; – кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.

Релятивистская механика

В задачах данного пособия по релятивистской механике считается, что оси Y, и Z, сонаправлены, а относительная скорость v₀ "штрихованной" системы координат К направлена вдоль общей оси (рис. 2.11).

Рис. 2.11.

Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня

,

(2.74)

где l₀ – длина стержня в системе координат К ’, относительно которой стержень покоится (собственная длина) ( стержень расположен вдоль оси Х); l – длина стержня, измеренная в системе К, относительно которой он движется со скоростью v; с – скорость распространения электромагнитного излучения.

 Релятивистское замедление хода часов

,

(2.75)

где t₀ – промежуток времени между двумя событиями в одной и той же точке системы К ’ (собственное время движущихся часов); t – промежуток времени между двумя событиями, измеренный по часам системы К.

Релятивистское сложение скоростей

,

(2.76)

где v’ – относительная скорость (скорость тела относительно системы К ’); v₀ – переносная скорость (скорость системы К ’ относительно К); v – абсолютная скорость (скорость тела относительно системы К).

Релятивистская масса

,

(2.77)

где m₀  - масса покоя

Релятивистский импульс

.

(2.78)

Полная энергия релятивистской частицы

,

(2.79)

где Т – кинетическая энергия частицы (Т = Е – Е₀); Е₀ = m₀ c² – ее энергия покоя.

Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы

.

(2.80)