Относительная погрешность

Относительная погрешность δ – отношение абсолютной погрешности Δ к значению измеряемой величины x:

. (18)

Пределы допускаемой относительной основной погрешности δ, если границы абсолютных погрешностей Δ можно полагать практически неизменными, находят по формуле

, (19)

Если границы абсолютных погрешностей Δ можно полагать меняющимися линейно, пределы допускаемой относительной основной погрешности δ находят по формуле

, (20)

где δ – пределы допускаемой относительной основной погрешности, %;

q – отвлеченное положительное число, выбираемое из ряда, аналогичному ряду для p;

X_K – больший (по модулю) из пределов измерений;

c, d – положительные числа, выбираемое из ряда, аналогичному ряду для p;

c = b + d; . (21)

При постоянной абсолютной погрешности Δ (16) (рисунок 35, штриховые линии) относительная погрешность δ (18) убывает в гиперболической зависимости от измеряемой величины x (рисунок 36, штриховые линии). Если абсолютная погрешность Δ линейно увеличивается с ростом измеряемой величины x, например, по уравнению (17) (рисунок 35, сплошные линии), относительная погрешность δ (18) также убывает по гиперболической зависимости, но гипербола имеет более высокую кривизну (рисунок 36, сплошные линии).

Рисунок 35 – Абсолютная погрешность Δ: постоянная (16) (штриховые линии); линейно возрастающая (17) (сплошные линии)

Рисунок 36 – Относительная погрешность δ: при постоянной абсолютной погрешности Δ (16) (штриховые линии); при линейно возрастающей абсолютной погрешности Δ (17) (сплошные линии)

При выборе прибора для измерений следует учитывать, что при постоянной абсолютной погрешности Δ на различных отметках шкалы будут соответствовать разные значения относительной погрешности δ (см. рисунки 35 и 36).

Пример

Для вольтметра со шкалой 0-150 В класса точности 1,5 основная предельная абсолютная погрешность Δ равна 2,25 В. Относительная погрешность δ (%), на отметках шкалы 25 и 100 В будет соответственно

δ₂₅ = ± (Δ/x)⋅100 = ± (2,25/ 25)⋅100 = ± 9 %;

δ₁₀₀ =± (2,25/100)⋅100 = ± 2,25 %.

С целью уменьшения относительной погрешности δ надо выбирать верхний предел шкалы измерительного прибора таким, чтобы ожидаемое значение измеряемой величины (показание) находилось в последней трети (или половине) ее.

Приведенная погрешность

Указание абсолютной Δ погрешности или относительной δ не позволяет сравнивать между собой по точности приборы с разными диапазонами измерений X_K. Поэтому для электроизмерительных приборов, манометров, приборов измерения физико-химических величин и др. характеристикой точности служит приведенная погрешность γ.

Приведенная погрешность γ – отношение абсолютной погрешности Δ к нормирующему значению X_N, в качестве которого выбирают верхний предел или диапазон измерений, длину шкалы и т.д.

, (22)

где γ – пределы допускаемой приведенной основной погрешности, %;

Δ – пределы допускаемой абсолютной основной погрешности, устанавливаемые по формуле (1);

X_N – нормирующее значение, выраженное в тех же единицах, что и Δ;

p – отвлеченное положительное число, выбираемое из ряда 1·10ⁿ; 1,5·10ⁿ; (1,6·10ⁿ); 2·10ⁿ; 2,5·10ⁿ; (3·10ⁿ); 4·10ⁿ; 5·10ⁿ; 6·10ⁿ (n = 1, 0, –1, –2 и т.д.).

Нормирующее значение X_N определяется, исходя из вида шкалы измерительного прибора:

1) шкала равномерная, практически равномерная или степенная – если нулевое значение входного (выходного) сигнала находится на краю или вне диапазона измерений, нормирующее значение X_N устанавливают равным большему из пределов измерений или равным большему из модулей пределов измерений, если нулевое значение находится внутри диапазона измерений;

2) шкала электроизмерительного прибора равномерная, практически равномерная или степенная и нулевой отметкой внутри диапазона измерений – нормирующее значение X_N устанавливают равным сумме модулей пределов измерений;

3) шкала с условным нулем (например, термометр с пределами измерений от 5 до 50 °С) – нормирующее значение X_N устанавливают равным модулю разности пределов измерений;

4) шкала существенно неравномерная – нормирующее значение X_N устанавливают равным всей длине шкалы или ее части, соответствующей диапазону измерений.

Выражение пределов допускаемой погрешности в форме приведенных γ и относительных δ погрешностей является предпочтительным, так как они позволяют выражать пределы допускаемой погрешности числом, которое остается одним и тем же для средств измерений одного уровня точности, но с различными верхними пределами измерений.