Қатты дененің айналмалы қозғалысының айналмалы жылдамдығының, айналмалы және орталыққа ұмтылатын үдеулерінің векторлық өрнектері.
Абсолютті қатты дененің (АҚД) тұрақты (қозғалмайтын) өс төңірегінде айналғанда, оның өсте жатқан нүктелері қозғалмайды (4.5 суретіндегі АВ). Өс арқылы екі жазықтық жүргізейік – қозғалмайтын және денемен байланысып қозғалатын жазықтықты. Олардың арасындағы екі жақтық j бұрышы дененің бұрылу бұрышы деп аталады, ол айналу өсінің оң бағыты жағынан қарағанда сағат тілінің қозғалысына қарсы болып көрінгенде, оң болып есептеледі. АҚД-нің тұрақты өс төңірегіндегі айналу заңы – келесі тәуелділік
j = j (t). (4.16)
Бұрыштық жылдамдық j бұрышының уақыт өтуімен өзгеруін сипаттайды
w = dj/dt, яғни . (4.17)
Дененің бұрыштық жылдамдығын модулі |w| т ең және айналу өсінің бойымен, ұшынан қарағанда дене сағат тілінің қозғалысына қарсы айналатын болып, бағытталған векторымен кескіндеуге болады.
Бұрыштық үдеу бұрыштық жылдамдығының уақыт өтуімен өзгеруін сипаттайды
e = dw/dt = d2 j/dt2, яғни . (4.18)
Егер қозғалыс кезінде w=const болса, айналу бірқалыпты деп аталады. (4.17) формуласын интегралдап, айналу заңын анықтаймыз
. (4.19)
Бірқалыпты
айналу кезінде 
болса,
онда
. (4.20)
Егер қозғалыс кезінде бұрыштық үдеу тұрақты болса (e=const), айналу бірқалыпты айнымалы деп аталады, оның заңы келесі түрде жазылады
. (4.21)
Егер w мен e таңбалары бірдей болса, айналу – бірқалыпты үдемелі, әртүрлі болса, бірқалыпты кемімелі болады.
Айналатын дене нүктелерінің жылдамдықтары мен үдеулерін анықтаймыз (4.6 сурет).
Айналу кезінде М нүктесі радиусы h тең, жазықтығы айналу өсіне перпендикуляр және P центрі өсте жататын шеңберді кескіндейді. dt уақыт ішінде денеdφ бұрышына бұрылады, М нүктесі ds = h∙ dφ орын ауыстыру жасайды. Сонда
. (4.21)
Нүктенің үдеулерін анықтаймыз
. (4.22)
үдеуі траекторияға жанама бағытталады (үдемелі айналу кезінде айналу бағытына сәйкес және кемімелі айналу кезінде айналу бағытына қарсы), үдеуі әрқашан МP радиусы бойымен өске қарай бағытталады. Нүктенің толық үдеуі
, (4.23)
m бұрышы (4.6 сурет) келесі тәуелдік арқылы анықталады
. (4.24)
және векторлары үшін келесі формулуларды шығаруға болады
, (4.25)
. (4.26)
Қатты дененің жазық қозғалысының қасиеттері. Жазық фигураның оның жазықтығындағы қозғалысы.
5.1 Жазық параллель қозғалыстың теңдеулері
АҚД-нің жазық параллель немесе жазық қозғалысы деп дененің барлық нүктелері бір қозғалмайтын жазықтыққа параллель жазықтарда орын ауыстыратын қозғалысты атайды (5.1 сурет).
Дене қозғалысын зерттеу үшін оның S қимасының Оху жазықтығында қозғалысын зерттеуге жеткілікті. S фигурасының Оху жазықтықта орны АВ кесіндінің орналасуымен анықталады (5.2 сурет). А нүктенің (полюсінің) хА, уА координаттарын және j бұрышын біліп, АВ кесіндінің орналасуын анықтауға болады. Қозғалыс заңын білу үшін, яғни кез келген уақыт мезетінде фигураның Оху жазықтығында орналасуын білу үшін, келесі тәуелдіктерді білу қажет
. (5.1)
(5.1) теңдеулері АҚД-нің жазық қозғалысының теңдеулері деп аталады. Алдыңғы екі теңдеу j=соnst жағдайда фигураның орын алатын қозғалысын анықтайды; бұл ілгерілемелі қозғалыс, ол болғанда фигураның барлық нүктелері А полюсы мен бірдей қозғалады. Үшінші теңдеу хА =const, уА =const жағдайда, яғни А полюсы қозғалмайтын жағдайда фигураның орын алатын қозғалысын анықтайды; бұл фигураның А полюс төңірегіндегі айналуы. Сонымен, жазық қозғалысты полюспен бірдей ілгерілемелі қозғалысы мен полюс төңірегіндегі айналмалы қозғалысының қосындысы ретінде қарастыруға болады.
5.2
Жазық фигура нүктелерінің ж
ылдамдықтарын
анықтау
Қозғалыстың
ілгерілемелі құраушысы 
жылдамдығымен
сипатталады дейік. Оху өстеріне
қатысты фигураның кез келген B нүктесінің
орны 
радиус-векторымен
анықталады (5.3 сурет) . Сонда
.
(5.2)
Сонда
фигураның А полюсын
айналуында B нүктесі
алатын 
жылдамдығы
келесіге тең
(5.3)
мұндағы w - фигураның бұрыштық жылдамдығы.
5.4 Жазық фигура нүктелерінің үдеулерін анықтау
Жазық
фигураның кез келген М нүктесінің
үдеуі сол фигураның ілгерілемелі және
айналмалы қозғалыстарында нүкте
алатын үдеулерінің қосындысы
болады. М нүктесінің Оху өстеріне
қатысты орны 
радиус-векторымен
анықталады, мұнда 
= AM.
Сонда
.
(5.7)
Сонымен
жазық фигураның кез келген М нүктесінің
үдеуі полюс ретінде қабылданған А нүктесінің
үдеуі мен фигура сол полюсты
айналғандағы М нүктесі
алатын үдеуінің қосындысына тең.
Есетерді шешу кезінде 
векторын
оның жанама (
)
және нормаль (
)
құраушыларына ауыстырып, (5.7) теңдікті
келесі түрде жазған ыңғайлы
.
(5.8)
5.5 Нүктенің күрделі қозғалысы. Салыстырмалы, тасымал және абсолют қозғалыстар
Есептерді шешу кезінде нүктенің қозғалысын екі санақ жүйелеріне қатысты қарастырған тиімді болады, олардың біреуі негізгі болып саналады (шартты қозғалмайтын), екіншісі – біріншісіне қатысты қозғалады. Нүктенің қозғалысы бұл жағдайда күрделі деп аталады. М нүктесінің қозғалатын Oxyz СЖ-не қатысты қозғалысын қарастырайық және осы Oxyz СЖ-сі қозғалмайтын О1х1у1z1 СЖ-не қатысты қозғалыста болсын (5.5 сурет). Келесі анықтамаларды енгіземіз:
а) М нүктесінің қозғалатын СЖ-не қатысты (Oxyz өстеріне қатысты) қозғалысы салыстырмалы қозғалыс деп аталады;
б)
қозғалмайтын О1х1у1z1 СЖ-не
қатысты Oxyz СЖ-нің
қозғалысы М нүктесі
үшін тасымал қозғалыс
болады. Охуz өстерімен
өзгеріссіз байланысқан, қарастырылатын
уақыт мезетінде қозғалатын М нүктесімен
түйісетін m нүктесінің
жылдамдығы М нүктесінің
сол уақыт мезгіліндегі тасымал жылдамдығы
(
),
ал m нүктенің
үдеуі - М нүктесінің 
тасымал
үдеуі деп аталады. Сонда
, 
;
(5.9)
в) М нүктесінің қозғалмайтын О1х1у1z1 СЖ-не қатысты қозғалысы абсолют немесе күрделі қозғалыс деп аталады.