8. Қозғалысы табиғи тәсілмен берілген жағдайдағы нүктенің жылдамдығы.

мұндағы, нүктенің радиус векторы. Соңғы теңдеудің екі жағынан модуль алайық:

. (2.32)

Бұл жерде уақыт дифференциалы dt оң таңбалы шама екені ескеріледі. Енді радиус векторы дифференциалының модуліне тең болатынын пайдаланайық:

. (2.33)

(2.32) теңдегі арқылы (2.33) өрнегінен мынадай формуланы аламыз:

9. 40.Қозғалысы векторлық тәсілмен берілген жағдайдағы нүктенің үдеуі.

Нүктенің үдеуі - оның жылдамдығының модулі мен бағытының уақыт өтуімен өзгеруін сипаттайтын векторлық шама. Әлдебір  t  уақыт мезетінде нүктенің орны М  және жылдамдығы   болсын, ал t₁ мезетінде нүкте M₁ орнына келіп,   жылдамдығына ие болады дейік (4.4 сурет). Сонда    уақыт  аралығында нүктенің жылдамдығы   өсімін алады,  ол әрқашан траекториясының ойыс жағына бағытталады.   векторының t  аралығына қатынасы нүктенің сол ауқыт аралығындағы орташа үдеуін анықтайды. t   нөлге ұмтылған кезде    ұмтылатын векторлық шама

                                     (4.5)

нүктенің берілген  t уақыт мезетіндегі үдеуі деп аталады. Сонымен, нүктенің берілген уақыт мезетіндегі үдеу векторы  жылдамдық векторының уақыт бойынша бірінші ретті туындысына, яғни нүктенің радиус-векторының екінші ретті туындысына тең.

 

 

 

10. 45. Қозғалысы координаттық тәсілмен берілген жағдайдағы нүктенің үдеуі.

Үдеудің проекциялары үшін келесі болады

,   

  ,   

                   (4.8)

немесе                                                   (4.9)

яғни үдеудің координаттық өстерге проекциялары  жылдамдықтың сәйкес проекцияларының уақыт бойынша бірінші ретті туындыларына немесе кординаттардың екі ретті туындыларына тең.

11. Еркін емес дене. Байланыстар және олардың реакциялары. Байланыстарды алып тастау принципі. Байланыстардың негізгі түрлері.

Егер кейбір орын ауыстырулар мүмкін емес болса, дене еркін емес деп аталады. Дене қозғалысының еркіндігін шектейтін шарттар байланыстар деп аталады. Байланыстар қатты немесе икемді материялық денелер арқылы орындалады. Дене түскен күштер әсерінен байланыс кедергілік жасап тұрған орын ауыстыруды орындауға тырысып, оған күш түсіреді. Біржолы байланыс та денеге модулі тап сондай, бірақ қарама-қарсы бағытталған байланыстың реакциясы деп аталатын күшті түсіреді. Реакциялардан басқа күштерді актив (пәрменді) күштер деп атаймыз. Байланыс реакциясының актив күштерден айырмашылығы – оның шамасы актив күштерге тәуелді және алдын ала белгісіз. Реакцияның бағыты - байланыс дененің қозғалысына кедергілік жасайтын бағытқа қарама-қарсы. Кейбір байланыстардың (тіректердің) реакциялары қалай бағытталатынын қарастырайық:

а) абсолют тегіс бет (үйкелісті ескермеуге болады) дененің бет үстінде жылжуына кедергілік жасамайды, ол тек қана бетке тік бағытпен қозғалуға кедергілік жасайды. Сондықтан оның реакциясы жанасып тұрған денелердің беттеріне ортақ нормаль бойымен  бағытталады және жанасу нүктесіне түседі;

б) икемді жіп немесе шынжыр. Мұнда реакция жіп немесе шынжыр бойымен бағытталады;

в) цилиндрлік топса (подшипник) немесе жылжымайтын топсалы тұғыр. Тесіктерінен өтетін білікпен қосылған  екі дене топсалы (шарнирлі) қосылысты құрайды. Біліктің өстік сызығы топсаның өсі деп аталады. Дене топса өсіне перпендикуляр бағытта орын ауыстыра алмайды, бірақ ол өске қатысты айнала алады. Сондықтан реакция топса өсіне перпендикуляр жазықтықта кез келген бағытталуы мүмкін. Әдетте оны екі құраушы күшке жіктейді;

г) каток түріндегі тірек, яғни жылжымалы топсалы тұғыр. Үйкеліс күші ескерілмесе, реакция домалау бетінің нормалі бойымен бағытталады;

д) сфералық топса және өкшелік. Мұндай байланыс дененің бір нүктесі ешқандай орын ауыстыру ала алмайтындай қылып бекітеді, ал сол нүктеге қатысты дене кеңістікте кез келген бағытта айналуы мүмкін. Реакция бекітілген нүкте арқылы өтеді; оның бағыты алдын ала белгісіз болғандықтан, оны үш құраушы күшке жіктейді;

е) екі шетінде топсалармен бекітілген, салмағы ескерілмейтін сырық. Сырыққа топсалардың центрлерінде түсетін тек екі күш ғана әсер етеді. Сырық тепе-теңдікте болғандықтан, сол күштер (реакциялар) топсалардың центрлерінен өтетін түзу бойымен бағытталу керек.

Еркін емес дене үшін келесі аксиома орын алады.

5. Байланыстар аксиомасы. Еркін емес денені, байланыстарды алып тастап және олардың әсерін реакциялармен ауыстырып, еркін дене ретінде қарастыруға болады.

6. Қатаю аксиомасы. Деформацияланатын дененің КЖ-нің әсерінен болған тепе-теңдік қалпы, оған қосымша байланыстарды орнатса, тіпті денені қатайған (абсолют қатты) д ене ретінде қарастырса да, өзгермейді.

12. 3