Охлаждение неограниченной пластины при нестационарном режиме

Рассмотрим охлаждение плоскопараллельной пластины толщиной 2δ (характерный размер l=δ). Размеры пластины в направлении осей Y и Z бесконечно велики. С обеих сторон пластина омывается жидкостью с температурой t_о.с., причем коэффициент теплоотдачи α для обеих поверхностей имеет одинаковое и постоянное значение.

В начальный момент времени при τ = 0 пластина имеет во всех своих точках постоянную температуру t₀=соnst, поэтому избыточная температура θ₀=t₀ – t_о.с. будет также постоянной для всех точек тела. Кроме того, заданы коэффициент теплопроводности λ_ст, плотность тела ρ и его теплоемкость С, величины которых полагаются постоянными.

Так как пластина безгранична как по высоте, так и по ширине, то дифференциальное уравнение принимает вид

Начальное условие при τ = 0 θ=θ₀ .

Граничное условие при х=±δ

Для аналитического решения дифференциального уравнения совместно с условиями однозначности используют метод разделения переменных. Решение ищется в виде произведения двух функций, из которых одна является функцией только τ, а другая – только х:

После подстановки последнего выражения в дифференциальное уравнение получим

В последнем уравнении переменные легко разделяются, и его можно записать следующим образом:

Решение данного дифференциального уравнения может быть представлено в виде

где μ_i – промежуточная переменная, которая находится из трансцендентного уравнения

Из анализа трансцендентного уравнения следует, что при каждом значении числа Вi существует бесконечное множество решений. Наиболее просто это уравнение можно решить графическим способом.

Обозначим левую часть уравнения через у₁=сtgμ, а правую – через у₂=μ/Вi. Пересечение котангенсоиды у₁ с прямой у₂ дает нам значение корней уравнения, т. е. μ_i.

Из рис. следует, что мы имеем бесконечное множество значений величины μ_i, причем каждое последующее значение больше предыдущего

При

т о есть функция у₂ совпадает с осью абсцисс, получим

При

то есть функция у₂ совпадает с осью ординат, получим

Известно, что если частные решения линейного дифференциального уравнения сложить, то полученная сумма также будет решением этого дифференциального уравнения. Следовательно, значения μ_i нужно использовать в совокупности. В инженерных расчетах можно ограничиться первыми тремя-четырьмя значениями μ_i.

Для , с достаточной точностью, можно ограничиться только первым членом ряда μ₁, тогда:

В последней формуле .

Пусть

тогда последнее уравнение примет вид

В центре пластины ( =0)

На поверхности пластины ( =1)

Функции , , , , зависящие от числа Био, Bi, табулированы и могут быть взяты из справочника.

Алгоритм решения задач на нестационарную теплопроводность аналитическим методом

1. Определяют критерии Фурье и Био по формулам: , .

2. Зная критерий Био, из таблицы находят функции , , , .

3. Рассчитывают по последним двум формулам безразмерные температуры в центре и на поверхности пластины.

4. Зная безразмерную температуру в плоскости симметрии, , находят искомую температуру в центре, . Зная безразмерную температуру на поверхности пластины, , находят искомую температуру на поверхности, .

Распределение температуры в пластине видно из рисунка