Ребра сложной геометрии

Для более точного расчета теплопередачи через оребренную стенку используют результаты решения задачи о теплопроводности стержня. Обозначим степень (коэффициент) оребрения как . Расчетное соотношение для теплового потока имеет вид:

Обозначения в этой формуле показаны на рисунке ниже:

Для прямых тонких ( ) ребер неизменного сечения, теплоотдачей на торце которых можно пренебречь, коэффициент эффективности

Из последней формулы видно, что коэффициент эффективности E уменьшается с увеличением длины ребра. Рёбра с E<0.6 на практике не используют.

Последнюю формулу можно записать в виде

где - безразмерный комплекс, называемый критерием (числом) Био. Этот комплекс является мерой соотношения между внутренним термическим сопротивлением теплопроводности и внешним термическим сопротивлением теплоотдачи

Практические расчеты коэффициента эффективности рёбер более сложной геометрии сводятся к относительно последней простой формуле, вводя к полученному по ней значению поправочный коэффициент :

Для ребер с трапециидальным и треугольным продольными сечениями величина определяется отношением толщин у основания и у торца а также комплексом . В качестве толщины ребра в расчете используется ее арифметическое значение , где - толщина у торца.

Указанные соотношения применимы и для расчета теплопередачи через оребрённые снаружи трубы, толщина стенки которых гораздо меньше их диаметра. В этом случае полагают, что , где D - наружный диаметр круглого ребра, d - внешний диаметр трубы. Поправочный коэффициент находят по графику в зависимости от отношения D/d и комплекса .

Теплопередача при наличии внутренних источников теплоты

В ряде случаев в середине стенки могут происходить процессы, в результате которых выделяется или поглощается тепло. Примерами таких процессов могут быть: выделение джоулевой теплоты при прохождении электрического тока по проводникам, объемное выделение теплоты в результате протекания экзотермической реакции или поглощения теплоты при протекании эндотермической реакции и т.д.

При исследовании переноса теплоты в таких случаях важно знать интенсивность объемного выделения (поглощения) теплоты, которая количественно определяется мощностью внутреннего источника (стока) теплоты q_ .

В частном случае, когда выделяется джоулево тепло при прохождении электрического тока через проводник цилиндрической формы, мощность внутреннего источника тепла может быть определена из уравнения:

,

где Q – количество теплоты; d – диаметр проводника, l – длина проводника.

Количество теплоты, выделяющейся при прохождении электрического тока по проводнику (джоулево тепло), определяется через параметры электрического тока: силу тока (I), напряжение (U), электрическое сопротивление :

.

Теплопроводность плоской стенки (плоский ТВЭЛ)

Для стационарного процесса (t/=0) одномерного распространения теплоты в плоской стенке (m=0) при наличии внутреннего источника теплоты (q_) дифференциальное уравнение теплопроводности

принимает вид

.

С учетом того, что , последнее уравнение можно записать в другом виде:

.

Имеем уравнения второго порядка. Для его решения необходимо снизить порядок, введя новую функцию . Тогда данное уравнение примет вид:

.

После разделения переменных и интегрирования имеем:

.

После разделения переменных и интегрирования имеем:

.

После интегрирования окончательно получим:

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ определяются из граничных условий.

Последнее уравнение описывает в общем виде распределение температуры в плоской стенке при наличии внутренних источников тепла. Из общего решения можно получить уравнения для конкретных задач.

Теплопроводность пластины при одинаковой температуре ее поверхностей

Дана плоская стенка толщиной 2. В стенке действует постоянный по объему внутренний источник тепла мощностью q_v. На поверхностях стенки поддерживается постоянная температура t_ст (симметричная задача). Необходимо определить распределение температуры в стенке и количество теплоты, отдаваемое стенкой в окружающую среду.

Поместим начало координат в центре стены. Тогда координаты правой и левой граней стенки будут равны соответственно +  и - . Исходя из условий задачи, можно составить граничные условия:

при ,

при .

Второе граничное условие называется условием тепловой симметрии. Действительно, при одинаковой температуре поверхностей стенки тепловые потоки через правую и левую грани должны быть одинаковые, но противоположно направлены. Поэтому в центре стенки тепловой поток будет равен нулю, то есть:

.

Но 0, следовательно .

Используя граничные условия, можно определить постоянные интегрирования С₁ и С₂ в уравнении .

Поскольку , то С₁=0.

Из второго граничного условия

,

откуда

.

Подставляя значения С₁ и С₂ в уравнение, получим:

.

Имеем параболическое распределение температуры в стенке (см. Рис.). Нетрудно определить максимальную температуру (t_max) в стенке. Очевидно, что максимальная температура в стенке (t_max) будет иметь место при х = 0.

Тогда:

.

Для определения количества тепла, отводимого через левую и правую грани стенки, воспользуемся уравнением Фурье:

.

Количество тепла, отводимого через правую грань стенки при (х=+), равно:

.

Аналогично можно определить количество тепла, выделяемого через левую грань (х= -), то есть:

.

Согласно при С₁=0

.

Тогда имеем:

;

.

Общее количество тепла, выделяемого стенкой толщиной 2, равно:

q=|q_лев|+|q_пр|=2 ^ q_ .

Однородный цилиндр (ТВЭЛ)

Для бесконечного цилиндрического стержня , при стационарном режиме

Условия теплоотдачи со всех сторон одинаковы (симметричная задача), то есть можно рассматривать только правую половину цилиндра.

Дифференциальное уравнение теплопроводности для стационарного режима имеет вид

г де оператор Лапласа в полярных координатах

В бесконечном цилиндре температура изменяется только по радиусу, то есть:

п осле деления на коэффициент температуропроводности

получим дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра при стационарном режиме:

Граничные условия:

После двойного интегрирования имеем

О пределив константы интегрирования и подставив их в последнее уравнение, имеем:

это уравнение параболы.

Температура на оси цилиндра находится при r = 0:

Температура стенке цилиндра находится при r = r₀:

Удельный тепловой поток, Вт/м² находится из последнего соотношения и теплота, отданная от цилиндра к окружающей его жидкости, Вт