15. Общий вид уравнения прямой на плоскости.

Прямая линия является простейшей и наиболее употребительной из кривых.

Любая прямая имеет уравнение вида: ах+bу+с=0, где а,b,с – постоянные. И Обратно, если а и b не равны нулю одновременно, то существует прямая, для которой она будет уравнением.

16. Расположение прямой относительно системы координат. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение прямой в нормальной форме.

В ыясним, какие особенности в расположении прямой относительно системы координат имеют место, если ее уравнение ах+bу+с=0 того или иного частного вида.

а) а=0. В этом случае уравнение прямой можно переписать так: у=(-с/b). Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же ординату (-с/b) и, следовательно, прямая параллельна оси х. В частности, если с=0, то прямая совпадает с осью х.

б) b=0. Этот случай рассматривается аналогично. Прямая параллельна оси у и совпадает с ней, если и с=0.

в ) с=0. Прямая проходит через начало координат, так как его координаты (0;0) всегда удовлетворяют уравнению прямой.

г) Пусть все коэффициенты уравнения прямой отличны от нуля (прямая не проходит через начало координат и не параллельна осям х и у). Тогда, умножая уравнение на 1/с и полагая –с/а=α, -с/b=β, приводим его к виду: .

Коэффициенты уравнения прямой в такой форме имеют простой геометрический смысл: α и β с точностью до знака равны длинам отрезков, которые прямая отсекает на осях координат. Действительно, ось х(у=0) прямая пересекает в точке (α,0), а ось у(х=0) – в точке (0,β).

17. Полярные координаты.

П роведем из произвольной точки О на плоскости полупрямую g и зададим некоторое направление отсчета углов около точки О. Каждой точке А плоскости можно сопоставить два числа: ρ и ϑ: ρ – расстояние точки А до О, ϑ – угол, образуемый полупрямой ОА с полупрямой g.

Числа ρ и ϑ называются полярными координатами точки А. Точка О называется полюсом, а полупрямая g – полярной осью.

Подобно тому, как и в случае декартовых координат можно говорить об уравнении кривой в полярных координатах. Именно, уравнение φ(ρ, ϑ) = 0 называется уравнение кривой в полярных координатах, если полярные координаты каждой точки кривой ему удовлетворяют. И обратно, любая пара чисел ρ, ϑ, удовлетворяющая этому уравнению, представляет собой полярные координаты одной из точек кривой.

С оставим для примера уравнение в полярных координатах окружности, проходящей через полюс, с центром на полярной оси и радиусом R. Из прямоугольного треугольника ОАА₀ получаем ОА=ОА₀cos ϑ. Отсюда уравнение окружности ρ=2R cosϑ.

В ведем на плоскости ρϑ систему декартовых координат ху, приняв полюс О за начало декартовой системы координат, полярную ось – за положительную полуось х, а направление положительной полуоси у выберем так, чтобы она образовала с полярной осью при выбранном направлении отсчета углов угол +П/2.

Между полярными и декартовыми координатами точки очевидным образом устанавливается следующая простая связь: x= ρ cosϑ, y= ρ sinϑ. Это позволяет, зная уравнение кривой в полярных координатах, получить ее уравнение в декартовых координатах и наоборот.

Составим, например, уравнение произвольной прямой в полярных координатах. Уравнение прямой в декартовых координатах ax+by+c=0.

Вводя в это уравнение вместо х и у, ρ и ϑ согласно формулам, получим

ρ(a cosϑ+b sinϑ)+c=0

Получим уравнение прямой в форме ρ cos(а - ϑ)= ρ₀.