12. Коллинеарные векторы.

В ектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

1. Два вектора  коллинеарны, если существует число n такое, что

2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

Условие неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

Условие применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

13. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

Теорема: На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство: Пусть - данные неколлинеарные векторы. Докажем сначала, что любой вектор можно разложить по векторам . Возможны два случая.

1) Вектор – коллинеарен одному из векторов , например вектору . В Этом случае, вектор можно представить в виде , где у – некоторое число, и , следовательно, , т.е. вектор разложен по векторам .

2) Вектор не коллинеарен ни вектору , ни вектору . Отметим какую-нибудь точку О и отложим от нее векторы

Ч ерез точку Р проведем прямую параллельную прямой ОВ, и обозначим через А1 точку пересечения этой прямой с прямой ОА. По правилу треугольника р=ОА1+А1Р. Но векторы ОА1 и А1Р коллинеарны соответственно векторам , поэтому существуют числа x и у, такие, что Следовательно .

Докажем теперь, что коэффициенты x и y разложения определяются единственным образом. Допустим, что наряду с разложением имеет место другое разложение . Вычитая второе равенство из первого и используя правила действий над векторами, получаем . Это равенство может выполнятся только в том случае, когда коэффициенты и равны нулю. В самом деле, если предположить, например, что ≠0, то из полученного равенства найдем , а значит, вектор a и b коллинеарны. Но это противоречит условию теоремы. Следовательно (x−x1)=0 и (y−y1)=0, откуда x=x1 и y=y1. Это и означает, что коэффициенты разложения вектора p→ определяются единственным образом.

14. Скалярное произведение векторов.

Углом между векторами a и b называется угол между векторами, равными a и b соответственно, имеющими общее начало

Скалярным произведением векторов a и b называется число (ab), равное произведению абсолютных величин векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение обладает следующими очевидными свойствами, непосредственно вытекающими из его определения:

1) ab= ba

2) a²= aa=|a|²

3) (λa)b=λ(ab)

4) если |e|=1, то (λe)(µe)=λµ

5) скалярное произведение векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны или один из векторов равен нулю.

Скалярное произведение вектора a на вектор b равно скалярному произведению проекции вектора a на прямую, содержащую вектор b, на вектор b. Доказательство очевидно. Достаточно заметить, что ab и равны по абсолютной величине и имеют одинаковые знаки.

Скалярное произведение обладает свойством дистрибутивности. Именно для любых трех векторов a, b, с: (a+b)с= aс+bс.