8. Понятие об уравнении кривой. Уравнение окружности.

П усть на плоскости ху дана некоторая линия или, как говорят, кривая. Уравнение φ(х,у)=0 называется уравнением кривой в неявной форме, если ему не удовлетворяют координаты х, у любой точки этой кривой и любая пара чисел х, у, удовлетворяющая уравнению φ(х,у)=0, представляет собой координаты точки кривой. Очевидно, кривая определяется своим уравнением, поэтому можно говорить о задании кривой ее уравнением.

В аналитической геометрии часто рассматриваются две задачи:

1) по заданным геометрическим свойствам кривой составить ее уравнение

2) по заданному уравнению кривой выяснить ее геометрические свойства. Рассмотрим эти задачи в применении к простейшей из кривых – окружности.

Пусть А0(х0,у0) – произвольная точка плоскости ху и R – любое положительное число. Составим уравнение окружности с центром А0 и радиусом R.

Пусть А(х,у) – произвольная точка окружности. Ее расстояние от центра А0 равно R. Квадрат расстояния точки А до А0 равен (х-х0)²+(у-у0)².

Таким образом, координаты х, у каждой точки А окружности удовлетворяют уравнению

(х-х0)²+(у-у0)²- R²=0.

Обратно, любая точка А, координаты х,у которой удовлетворяют уравнению, принадлежит окружности, так как ее расстояние от А0 равно R.

В соответствии с данным выше определением уравнение есть уравнение окружности с центром А0 и радиусом R.

Рассмотрим теперь вторую задачу для кривой, заданной уравнением х²+у²+2ах+2by+с=0 (а²+ b²-с>0).

Уравнение кривой можно переписать в следующей эквивалентной форме: .

Из этого уравнения видно, что каждая точка (х,у) кривой находится на одном и том же расстоянии, равном , от точки (-а,-b) и, следовательно, кривая представляет собой окружность с центром (-а,-b) и радиусом .

9. Вектор. Абсолютная величина и направление вектора. Координаты вектора.

Под вектором мы будем понимать направленный отрезок. Направление вектора указывается стрелкой. Точка А – начало вектора, В – конец.

Два вектора считаются равными, если один из них может быть получен параллельным переносом из другого.

Очевидно, если вектор а равен b, то b равен а. Если а равен b, а b равен c, то а равен с.

Два вектора называются одинаково направленными, если они параллельны и у равных им векторов, имеющих общее начало, концы располагаются по одну сторону от начала (соответственно по разные стороны от начала).

Длина отрезка, изображающего вектор, называется абсолютной величиной вектора.

10. Сложение векторов.

Суммой двух векторов а и b называется вектор а+ b, который получается из векторов а и b или равных им векторов.

Сложение векторов коммутативно, т.е. для любых векторов а и b: а+ b= b+а.

Сложение векторов ассоциативно. Именно, если а, b, c – любые векторы, то: (а+ b)+с=а+ (b+с).

11. Умножение вектора на число.

Для векторов определяется операция умножения на число. Именно, произведением вектора а на число λ называется вектор аλ= λа, абсолютная величина которого |λa|=|λ||a|, а направление совпадает с направлением а или противоположно ему, смотря по тому λ>0 иди λ<0. При λ=0 или а=0 считаем λа равным нулевому вектору.

Умножение вектора на число обладает свойством ассоциативности и двумя свойствами дистрибутивности. Именно, для любых чисел λ, µ и векторов a, b

λ(µа)=(λµ)а – ассоциативность,

– дистрибутивность