1. Матрицы. Операции над матрицами. Обратная матрица.

Матрица - это прямоугольная таблица, составленная из чисел, которые нельзя менять местами. Квадратная матрица - таблица, у которой число строк и число столбцов одинаково. Определитель может быть только у квадратной матрицы.

Операции над матрицами

Некоторые операции над матрицами, такие как сложение и вычитание, допускаются только для матриц одинакового размера.

Равные матрицы

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны

Произведение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из исходной умножением каждого ее элемента на заданное число.

Сумма матриц

Суммой матриц   и   одного размера называется матрица   такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов.

Произведение двух матриц

Произведением матрицы   на матрицу   называется матрица   такая, что элемент матрицы  , стоящий в  -ой строке и  -ом столбце, т.е. элемент  , равен сумме произведений элементов  -ой строки матрицы   на соответствующие элементы  -ого столбца матрицы  .

Свойства произведения матриц:

1. Ассоциативность 

2. Ассоциативность по умножению 

3. Дистрибутивность  , 

4. Умножение на единичную матрицу 

5. В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е. 

6.

Транспонирование матриц

Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами.

Свойства транспонирования матриц:

1.

2.

3.

4.

Обратная матрица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Единичная матрица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Как найти обратную матрицу?

1) Сначала находим определитель матрицы.

2) Находим матрицу миноров  .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений  .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений  .

2. Определители. Свойства определителей.

Определитель второго порядка есть число, получаемое следующим образом:

Определитель третьего порядка – это число, получаемое так:

Т ак как формула тяжелая для запоминания использую правило треугольника

Свойства определителя n-го порядка

1. При замене строк столбцами (транспонировании) значение определителя не изменится.

2. Если хотя бы один ряд (строка или столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе поменять местами два соседних параллельных ряда (строки или столбцы), то определитель поменяет знак на противоположный.

4. Если в определителе имеются два одинаковых параллельных ряда, то определитель равен нулю.

5. Если в определителе два параллельных ряда пропорциональны, то определитель равен нулю.

6. Если все элементы определителя, стоящие в одном ряду, умножить на одно и то же число, то значение определителя изменится в это число раз.

7. Если в определителе все элементы одного ряда представлены в виде суммы двух слагаемых, то он равен сумме двух определителей.

8. Если к элементам какого-либо ряда прибавить произведение соответствующих элементов параллельного ряда на постоянный множитель, то значение определителя не изменится.

9. Если к элементам i-го ряда прибавить линейную комбинацию соответствующих элементов нескольких параллельных рядов, то значение определителя не изменится.

3. Системы линейных уравнений.

Система линейных уравнений - система уравнений, каждое уравнение в котором является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.

– Решение системы по формулам Крамера; – Решение системы с помощью обратной матрицы; – Решение системы методом Гаусса.

4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Теорема о совместимости ступенчатой системы линейных уравнений. Теорема об определенности совместной ступенчатой системы линейных уравнений (без доказательств).

Суть метода Гаусса состоит в том, что при помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к ступенчатому виду.

5. Правило Крамера для системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

Рассмотрим систему уравнений 

На первом шаге вычислим определитель  

Если  , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений).

Если  , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:  и 

Корни уравнения находим по формулам: , 

6. Правило Крамера для системы линейных уравнений с тремя неизвестными.

Правило Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если  , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений).

Если  , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя: ,  , 

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

7. Введение координат на плоскости. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении.

Введение координат на плоскости

Две взаимно перпендикулярные оси Ox и Oy, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат на плоскости.

Ось Ox – ось абсцисс, ось Oy – ось ординат, а обе вместе – ось координат. Точка О пересечения осей называется началом координат. Плоскость, в которой расположены оси Ox и Oy, называется координатной плоскостью и обозначается Oxy.

Пусть М – произвольная точка плоскости. Опустим из нее перпендикуляры МА и МВ на оси Ox и Oy.

Премоугольными координатами х и у точки М будем называть соответственно величины ОА и ОВ направленных отрезков и : х=ОА, у=ОВ.

Координаты х и у точки М называются соответственно ее абсциссой и ординатой. Тот факт, что точка Ь имеет координаты х и у, символически обозначают так: М(х;у). При этом первой в скобках указывают абсциссу, а второй – ординату. Начало координат имеет координаты (0;0).

Таким образом, при выбранной системе координат каждой точке М плоскости соответствует единственная пара чисел (х;у)* - ее прямоугольные координаты, и, обратно, на каждой паре чисел (х;у) соответствует, и притом одна, точка М плоскости Oxy такая, что ее абсцисса равна х, а ордината у.

Расстояние между двумя точками

П усть на плоскости ху даны две точки:

А1(х1;у1) и А2(х2;у2). Выразим расстояние между точками А1, А2 через координаты этих точек.

Допустим, что х1≠х2 и у1≠у2. Проведем точки А1 и А2 прямые, параллельные осям координат. Расстояние между точками А и А1 равно у1-у2, а расстояние между точками А и А2 равно х1-х2. Применяя к прямоугольнику А1АА2 теорему Пифагора, получим:

(х1-х2)²+(у1-у2)²=d², где d – расстояние между точками А1 и А2.

Деление отрезка в данном отношении

Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М1М2 и пусть М – любая точка этого отрезка, отличная от точки М2.

Число λ, определяемое равенством

, называется отношение, в котором точка М делит отрезок М1М2.

Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы по данному отношению λ и данным координат точек М1 и М2 найти координаты точки М.

Теорема. Если точка М(х;у) делит отрезок М1М2 в отношении λ, то координаты этой точки определяются формулами

где (х1;у1) – координаты точки М1: (х2;у2) – координаты точки М2.